Encontre uma base para o subespaço W de M2 times 2, gerado pelos vetores:
v1=(cc 1 & -5 -4 & 2 ), v2=(cc 1 & 1 -1 & 5 ), v3=(cc 1 & -4 -5 & 7 ) e v4=(cc 1 & -7 -5 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede uma base de . O conteúdo aqui é verificar quais desses quatro vetores (matrizes) são linearmente independentes. Para isso, vamos identificar cada matriz
com o vetor e usar eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevendo
v1=(1,-5,-4,2),; v2=(1,1,-1,5),; v3=(1,-4,-5,7),; v4=(1,-7,-5,1),
montamos a matriz cujas linhas são esses vetores:
1 & -5 & -4 & 2 1 & 1 & -1 & 5 1 & -4 & -5 & 7 1 & -7 & -5 & 1
Aplicamos
R2 R2-R1,; R3 R3-R1,; R4 R4-R1
para zerar a primeira coluna abaixo de R1, obtendo
1 & -5 & -4 & 2 0 & 6 & 3 & 3 0 & 1 & -1 & 5 0 & -2 & -1 & -1
Em seguida trocamos R2rightarrow R3 (para ter pivô 1) e eliminamos:
1 & -5 & -4 & 2 0 & 1 & -1 & 5 0 & 6 & 3 & 3 0 & -2 & -1 & -1 xrightarrow,R3 R3-6R2,;R4 R4+2R2, 1 & -5 & -4 & 2 0 & 1 & -1 & 5 0 & 0 & 9 & -27 0 & 0 & -3 & 9

Passo 3

Na última forma vemos pivôs em colunas 1, 2 e 3, e a quarta linha é múltiplo da terceira. Logo .
Os pivôs apareceram inicialmente nas linhas correspondentes a , depois a (trocada para segunda linha) e depois a . Isso mostra que é um conjunto de vetores independentes.

Passo 4

Como qualquer base de W precisa ter três vetores, podemos reorganizar e dizer simplesmente que
,v1,;v2,;v3
é uma base de W.

Resposta

,v1,;v2,;v3

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