Seja \pi o plano definido pelos pontos A=(2,0,-1), B=(0,-1,2) e C=(4,2,-3). Determine:
a distância do ponto P=(3 ;-5 ; 1) ao plano \pi;

Passo 1

O enunciado dá o plano \pi determinado pelos pontos
A=(2,0,-1),\quad B=(0,-1,2),\quad C=(4,2,-3)
e o ponto P=(3,-5,1). Queremos a distância de P a \pi. Em geometria no espaço, essa distância é
d = \frac{\bigl|\mathbf{n}\cdot (P - A)\bigr|}{\|\mathbf{n}\|},
onde \mathbf{n} é um vetor normal ao plano, que vamos obter pelo produto vetorial de dois vetores do plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores no plano:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-2,\,-1-0,\;2-(-1)) = (-2,\,-1,\,3),
\overrightarrow{AC} = C - A = (4-2,\;2-0,\;-3-(-1)) = (2,\,2,\,-2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & -1 & 3\\\\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-4,\,2,\,-2).

Passo 4

Computamos P - A e depois o produto escalar e a norma de \mathbf{n}:
P - A = (3-2,\,-5-0,\;1-(-1)) = (1,-5,2),
\mathbf{n}\cdot (P - A) = (-4)\cdot 1 + 2\cdot(-5) + (-2)\cdot 2 = -18,
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|-18\bigr|}{2\sqrt{6}} = \frac{18}{2\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}.

Resposta

\frac{3\sqrt{6}}{2}

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