Q8: A matriz que representa a projeção sobre o plano 3 x+6 y+7 z=0 em \mathbb{R}^{3} pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) \left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]^{-1}
(B) \left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]^{-1}
(D) \left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 7 & 0 \\\\ 6 & 0 & -7 \\\\ 7 & -3 & 6\end{array}\right]
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: escolher qual das alternativas (A) a (E) apresenta a matriz que representa a projeção sobre o plano 3x+6y+7z=0 em \mathbb{R}^3. As informações relevantes dadas no enunciado são:
  • A normal do plano é o vetor \,n=(3,6,7)\, (retirado do coeficiente da equação 3x+6y+7z=0).
  • Foi fornecida a matriz
M=\begin{pmatrix}3 & 7 & 0 \\[4pt] 6 & 0 & -7 \\[4pt] 7 & -3 & 6\end{pmatrix},
e as alternativas envolvem combinações de M, M^{-1} e matrizes diagonais \operatorname{diag}(0,1,1) ou \operatorname{diag}(-1,1,1).
  • A pergunta essencial é: qual expressão corresponde à matriz linear que, aplicada a um vetor em \mathbb{R}^3, devolve sua projeção ortogonal no plano 3x+6y+7z=0.]

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagar e sem pular passos): escolher uma base bem-escolhida e usar mudança de base.
  • Se eu escolher uma base B=\{b_1,b_2,b_3\} de \mathbb{R}^3, em que b_1 seja um vetor paralelo à normal do plano e b_2,b_3 sejam um par de vetores que formem base do plano, então a matriz da projeção (na base B) é muito simples: ela zera a componente na direção normal e mantém as componentes no plano. Em coordenadas dessa base, a matriz da projeção é exatamente a diagonal
\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Se M é a matriz cujas colunas são b_1,b_2,b_3 escritas nas coordenadas canônicas, então a passagem da matriz dessa transformação da base B para a base canônica é feita pela conjugação
[T]_{\text{can}} = M\,[T]_B\,M^{-1}.
Isto é, para obter a matriz na base canônica, multiplica-se à esquerda por M e à direita por M^{-1}. Essa igualdade é uma regra básica de mudança de base para matrizes de transformações lineares.]

Passo 3

Verificar que a matriz dada M tem precisamente a estrutura desejada (coluna 1 = normal e colunas 2 e 3 = vetores do plano).
  • Coluna 1 de M é \,b_1=(3,6,7)=n, a normal do plano.
  • Coluna 2 de M é b_2=(7,0,-3). Verificar ortogonalidade com n:
n\cdot b_2 = 3\cdot7 + 6\cdot0 + 7\cdot(-3) = 21 + 0 - 21 = 0.
Portanto b_2 pertence ao plano 3x+6y+7z=0.
  • Coluna 3 de M é b_3=(0,-7,6). Verificar ortogonalidade com n:
n\cdot b_3 = 3\cdot0 + 6\cdot(-7) + 7\cdot6 = 0 -42 +42 = 0.
Portanto b_3 também pertence ao plano.
  • Os vetores b_2,b_3 são linearmente independentes (não múltiplos) e juntos com b_1 formam uma base de \mathbb{R}^3. Para confirmar M é invertível, calcula-se o determinante (apenas para ter garantia):
\det(M) = -658 \neq 0,
logo M é invertível e realmente é uma matriz de mudança de base válida.
Resumo: as colunas de M são \{b_1=n,b_2,b_3\} onde b_2,b_3 formam base do plano e b_1 é a normal.

Passo 4

Determinar a matriz da projeção na base B e fazer a mudança de base para a base canônica.
  • Em coordenadas da base B, um vetor qualquer tem coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) e representa \alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3. A projeção ortogonal sobre o plano zera a componente na direção b_1 (a normal) e mantém as demais. Portanto, a matriz da projeção na base B é
[T]_B=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Aplicando a regra de mudança de base explicada no Passo 2, a matriz da projeção na base canônica (a que interessa) é
[T]_{\text{can}} = M\,[T]_B\,M^{-1} = \;M\!\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}\!M^{-1}.]

Passo 5

Comparar com as alternativas e concluir.
  • A alternativa (A) é precisamente
M\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}M^{-1},
que coincide com a expressão que acabamos de obter para [T]_{\text{can}}. Logo (A) representa a projeção sobre o plano solicitado.
  • Observação rápida sobre as outras alternativas (só para fixar a intuição): trocar a ordem para M^{-1}(\cdot)M daria a conjugação no sentido oposto (errado aqui); usar \operatorname{diag}(-1,1,1) corresponderia a refletir a componente da normal (reflexão de Householder), não a projetar; por isso as demais alternativas são incorretas.]

Resposta

(A)

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