Determine m de modo que as retas de equações 3 x+y-m=0, 3 x-y+1=0 e 5 x-y-1=0 definam um triângulo.

Passo 1

O enunciado dá três retas:
L1:;3x + y - m = 0,
L2:;3x - y + 1 = 0,
L3:;5x - y - 1 = 0
e pede os valores de m para que elas formem um triângulo. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
  1. Nenhuma delas deve ser paralela a outra (para haver três interseções distintas).
  2. As três não podem ser concorrentes em um único ponto (caso contrário, não fecham um triângulo).

Passo 2

Verificamos as inclinações (coeficientes angulares) de cada reta, escrevendo-as em forma y = mx + b:
Para L1:
y = -3x + m,
então o coeficiente angular é -3.
Para L2:
y = 3x + 1,
então o coeficiente angular é 3.
Para L3:
y = 5x - 1,
então o coeficiente angular é 5.
Como -3, 3 e 5 são todos diferentes, não há paralelismo entre quaisquer duas retas, independentemente de m.

Passo 3

Agora conferimos concorrência: as três retas seriam concorrentes se existisse um ponto comum às três. Basta achar o ponto de interseção de L2 e L3 e exigir que ele satisfaça L1.
Interseção de L2 e L3:
3x+1 = y = 5x-1 ;Longrightarrow; 3x + 1 = 5x - 1 ;Longrightarrow; 2 = 2x ;Longrightarrow; x = 1,
e então
y = 3cdot1 + 1 = 4
O ponto é (1,4).

Passo 4

Para que (1,4) esteja também em L1, devemos ter
3cdot1 + 4 - m = 0 ;Longrightarrow; 7 - m = 0 ;Longrightarrow; m = 7
Logo, se m = 7, as três retas se encontram em (1,4) e não formam triângulo.

Resposta

As retas formam triângulo para todo real m exceto
boxedm neq 7

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