Em cada caso identifique a superfície ( parabolóide, elipsóide, cone, cilindro) especificando a forma geometricamente.
(a) x^{2}+y^{2}=z

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada por
x^{2} + y^{2} = z
Isso faz parte do estudo de superfícies quádricas em geometria analítica. Vamos comparar esta equação com as formas-padrão de quádricas para reconhecer de que tipo ela é.

Passo 2

Reescrevendo a equação em função de z, temos
z = x^{2} + y^{2}.
Em superfícies quádricas, quando uma variável aparece ao primeiro grau (aqui z) e as outras duas aparecem ao quadrado com coeficientes positivos, trata-se de um paraboloide. Como os coeficientes de x^{2} e de y^{2} são iguais e positivos, a seção horizontal em z=c (com c>0) é
x^{2} + y^{2} = c,
ou seja, um círculo de raio \sqrt{c}. Nas seções verticais, por exemplo em y=0, vem
x^{2} = z,
uma parábola no plano xz. Portanto, geometricamente, a superfície é um “bowl” simétrico em torno do eixo z, aberto para cima, cujas curvas de nível são círculos.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico circular (um paraboloide circular) voltado para cima, com eixo de simetria ao longo de z.

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