Em cada caso identifique a superfície ( parabolóide, elipsóide, cone, cilindro) especificando a forma geometricamente.
(c) 16 y^{2}+4 x^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos a superfície dada por
16y^{2} + 4x^{2} = 1
Esse é um exercício de classificação de superfícies quádricas (parabolóides, elipsóides, cones e cilindros).

Passo 2

Observe que a variável z não aparece na equação. Isso significa que a curva descrita por
16y^{2} + 4x^{2} = 1
se repete para todo valor de z. Em outras palavras, em cada plano paralelo a xy (ou seja, em cada plano z = \text{constante}) temos a mesma curva.

Passo 3

A curva no plano xy é
16y^{2} + 4x^{2} = 1\;\;\Longleftrightarrow\;\;\frac{x^{2}}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} + \frac{y^{2}}{\bigl(\tfrac14\bigr)^{2}} = 1,
que é uma elipse de semi-eixo a=\tfrac12 ao longo de x e b=\tfrac14 ao longo de y.

Passo 4

Como essa elipse se estende indefinidamente ao longo da direção z, a superfície inteira é um cilindro reto cuja geratriz é paralela ao eixo z e cuja seção transversal no plano xy é essa elipse.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico reto de equação
16y^{2} + 4x^{2} = 1,
com geratriz paralela ao eixo z e seção transversal elíptica de semi-eixos \tfrac12 (em x) e \tfrac14 (em y).

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