Verifique que a equação x^{2}+4 y^{2}+2 x+8 y=8 representa uma elipse. Faça a representação geométrica no plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{2} + 4y^{2} + 2x + 8y = 8
e pede para verificar que é uma elipse e desenhá-la no plano cartesiano. O conteúdo envolve identificação de cônicas por completar quadrados e obtenção da forma reduzida de uma elipse.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e em y:
Em x:
x^{2} + 2x = (x+1)^{2} - 1.
Em y:
4y^{2} + 8y = 4\bigl(y^{2} + 2y\bigr) =4\bigl((y+1)^{2} - 1\bigr) =4(y+1)^{2} - 4.
Substituindo na equação original:
(x+1)^{2} - 1 \;+\; 4(y+1)^{2} - 4 = 8 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2} + 4(y+1)^{2} = 8 + 5 = 13.

Passo 3

Escrevendo em forma padrão de elipse:
\frac{(x+1)^{2}}{13} \;+\;\frac{(y+1)^{2}}{13/4} \;=\;1.
Como os denominadores são positivos e distintos, trata-se de uma elipse centrada em (-1,-1), com semi-eixo maior
a = \sqrt{13}
na direção do eixo x
e semi-eixo menor
b = \sqrt{\tfrac{13}{4}} = \tfrac{\sqrt{13}}{2}
na direção do eixo y.

Passo 4

Para desenhar no plano cartesiano:
Centro C(-1,-1).
Vértices horizontais:
\bigl(-1\pm\sqrt{13},\,-1\bigr).
Vértices verticais:
\bigl(-1,\,-1\pm\tfrac{\sqrt{13}}{2}\bigr).
Basta traçar o retângulo de semi-eixos a e b ao redor de C, marcar esses vértices e desenhar a curva suavemente passando por eles.

Resposta

Centro: (-1,-1)
Semi-eixo maior: a=\sqrt{13} (direção x)
Semi-eixo menor: b=\tfrac{\sqrt{13}}{2}
Vértices:
(-1\pm\sqrt{13},\,-1) \quad\text{e}\quad \bigl(-1,\,-1\pm\tfrac{\sqrt{13}}{2}\bigr).

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