Em cada caso identifique a superfície ( parabolóide, elipsóide, cone, cilindro) especificando a forma geometricamente.
(e) 16 y^{2}+3 y=4 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da superfície
16y^2+3y=4x
em \mathbb{R}^3. Note que não aparece a variável z, logo a superfície é um cilindro. O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas e reconhecer cilindros e parábolas.

Passo 2

Como z não aparece, a superfície é obtida ao “repetir” em z a curva definida no plano xy. Para ver o tipo de curva no plano xy, isolamos x:
4x = 16y^2 + 3y \quad\Longrightarrow\quad x = 4y^2 + \tfrac{3}{4}y.

Passo 3

Reconhecemos que x como função de y define uma parábola no plano xy. Para evidenciar a forma canônica, completamos o quadrado em y:
4y^2 + \tfrac{3}{4}y =4\!\Bigl(y^2 + \tfrac{3}{16}y\Bigr) =4\!\Bigl[\bigl(y+\tfrac{3}{32}\bigr)^2 - \tfrac{9}{1024}\Bigr] =4\bigl(y+\tfrac{3}{32}\bigr)^2 - \tfrac{9}{256}.

Passo 4

Portanto
x = 4\bigl(y+\tfrac{3}{32}\bigr)^2 - \tfrac{9}{256},
que é a equação de uma parábola no plano xy, deslocada de \bigl(-\tfrac{9}{256},-\tfrac{3}{32}\bigr). Como essa curva se estende invariavelmente em z, a superfície é um cilindro cuja geratriz é paralela ao eixo z e cuja base (diretriz) é essa parábola.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder), ou seja, a parábola
x = 4\bigl(y+\tfrac{3}{32}\bigr)^2 - \tfrac{9}{256}
transportada ao longo do eixo z.

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