itào 01:
a) Enuncie o Teorema de Fubini para retângulos.
b) Use o Teorema de Fubini para resolver a integral dupla
, onde
.
a) Enuncie o Teorema de Fubini para retângulos.
b) Use o Teorema de Fubini para resolver a integral dupla
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) enunciar o Teorema de Fubini para retângulos; (b) usar esse teorema para calcular a integral dupla
onde
. O conteúdo é integrais duplas e aplicação de Fubini para trocar ordem de integração e separar integrais de variáveis independentes.
Passo 2
Enunciamos o Teorema de Fubini para retângulos: seja
contínua em
. Então
Passo 3
Aplicando o teorema ao nosso caso, escrevemos
Passo 4
Como
depende só de
e
depende só de
, separam-se as integrais:
Passo 5
Calculamos cada parte:
Passo 6
Multiplicando os resultados, obtemos
Resposta
a) Seja
contínua em
. Então
b)