itào 01:
a) Enuncie o Teorema de Fubini para retângulos.
b) Use o Teorema de Fubini para resolver a integral dupla \iint_{R} y \mathrm{e}^{v^{2}} \operatorname{sen} x \mathrm{~d} A, onde R=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) enunciar o Teorema de Fubini para retângulos; (b) usar esse teorema para calcular a integral dupla
\iint_{R} y e^{y^2} \sin x \, dA,
onde R=[0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,2]. O conteúdo é integrais duplas e aplicação de Fubini para trocar ordem de integração e separar integrais de variáveis independentes.

Passo 2

Enunciamos o Teorema de Fubini para retângulos: seja f(x,y) contínua em R=[a,b]\times[c,d]. Então
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\Bigl(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx = \int_{c}^{d}\Bigl(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

Passo 3

Aplicando o teorema ao nosso caso, escrevemos
\iint_{R}y e^{y^2}\sin x\,dA =\int_{x=0}^{\pi/2}\Bigl(\int_{y=0}^{2}y e^{y^2}\sin x\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 4

Como y e^{y^2} depende só de y e \sin x depende só de x, separam-se as integrais:
\int_{x=0}^{\pi/2}\sin x\,dx \;\times\; \int_{y=0}^{2}y e^{y^2}\,dy.

Passo 5

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx =[-\cos x]_{0}^{\pi/2} =1,
\int_{0}^{2}y e^{y^2}\,dy \quad\text{fazendo }u=y^2,\;du=2y\,dy \;\Rightarrow\; \frac12\int_{0}^{4}e^{u}\,du =\frac12[e^{u}]_{0}^{4} =\frac{e^{4}-1}{2}.

Passo 6

Multiplicando os resultados, obtemos
1\cdot \frac{e^{4}-1}{2} =\frac{e^{4}-1}{2}.

Resposta

a) Seja f(x,y) contínua em R=[a,b]\times[c,d]. Então
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{a}^{b}\Bigl(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx = \int_{c}^{d}\Bigl(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.
b) \displaystyle \frac{e^{4}-1}{2}.

Exercícios relacionados