Questão 02: Considere a integral dupla \iint_{R} f(x, y) \mathrm{d} A, onde R é a região do plano- x y dada pelo conjunto de
pontas (x, y) tais que 0 \leqslant x \leqslant 2 e y está entre os gráficos de y=x^{2} e y=3 x+1.
(a) Faça um esboço da regiāo R.
(b) Monte a integral dupla interpretando a região R com uma região do tipo R_{x}.

Passo 1

O enunciado pede para a região
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;x^2\le y\le 3x+1\}
(a) fazermos um esboço de R no plano xy;
(b) escrevermos a integral \displaystyle \iint_{R}f(x,y)\,\mathrm{d}A
como uma iterada do tipo “fixo x, varre y”.

Passo 2

Para entender quem é a fronteira superior e quem é a inferior, resolvemos
x^2 = 3x+1 \;\Longrightarrow\; x^2-3x-1=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
As raízes são aproximadamente -0{,}30 e 3{,}30, ambas fora do intervalo [0,2].
Logo, em todo 0\le x\le 2 vale
x^2 < 3x+1,
ou seja, a parábola y=x^2 fica sempre abaixo da reta y=3x+1 nesse trecho.

Passo 3

Esboço de R:
  • Desenhe o eixo x de 0 a 2.
  • Em cada x, marque o ponto na parábola y=x^2 e na reta y=3x+1.
  • Em x=0: y_{\text{para}}=0, y_{\text{reta}}=1.
  • Em x=2: y_{\text{para}}=4, y_{\text{reta}}=7.
  • Preencha a “fita” vertical entre y=x^2 (inferior) e y=3x+1 (superior).

Passo 4

Para uma região do tipo R_x (isto é, “fixo x, y varia entre duas funções de x”), temos diretamente
x\text{ vai de }0\text{ a }2, \quad y\text{ vai de }x^2\text{ a }3x+1.
Portanto a integral iterada fica
\iint_{R}f(x,y)\,\mathrm{d}A =\int_{x=0}^{2}\Bigl[\;\int_{y=x^2}^{\,3x+1}f(x,y)\,\mathrm{d}y\Bigr]\mathrm{d}x.

Resposta

(a) Região R é a “fita” entre a parábola y=x^2 e a reta y=3x+1 para 0\le x\le2.
(b)
\iint_{R}f(x,y)\,\mathrm{d}A =\int_{0}^{2}\int_{x^2}^{3x+1}f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

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