Em cada caso inverta a ordem de integração.
a) integral0^1[integral0^x f(x, y) d y] d x.
b) integral0^1[integralx^2^x f(x, y) d y] d x.
c) integral0^1[integral-raizy^raizy f(x, y) d x] d y.
d) integral1^e[integralln x^x f(x, y) d y] d x.
f) integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x.
g) integral-1^1[integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y] d x.
h) integral0^pi4[integralsen x^cos x f(x, y) d y] d x.
i) integral0^3[integralx^2-2 x^raiz3 x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede, em cada caso, inverter a ordem de integração de uma integral dupla
integralx=a^bl[integraly=phi1(x)^phi2(x)f(x,y),dyr]dx
O método geral é descrever a região
D=(x,y)mid a<= x<= b,;phi1(x)<= y<=phi2(x),
determinar para qual y ela existe e, para cada y, encontrar o intervalo de x. Assim obtemos
integraly=Ymin^Ymaxl[integralx=Xmin(y)^Xmax(y)f(x,y),dxr]dy

Passo 2

Caso (a):
integral0^1l[integral0^xf(x,y),dyr]dx
Aqui D=(x,y)mid0<= y<= x<=1. Para cada y em [0,1], x vai de y até 1. Logo
integral0^1l[integral0^xf(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integraly^1f(x,y),dxr]dy

Passo 3

Caso (b):
integral0^1l[integralx^2^xf(x,y),dyr]dx
A região é (x,y)mid0<= x<=1,;x^2<= y<= x. Isso equivale a 0<= y<=1 e, para cada y, x>=raiz y. Como x<=1, temos
integral0^1l[integralx^2^xf(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integralraiz y^1f(x,y),dxr]dy

Passo 4

Caso (c):
integral0^1l[integral-raiz y^raiz yf(x,y),dxr]dy
Aqui D=(x,y)mid0<= y<=1,;-,raiz y<= x<=raiz y. Para cada xin[-1,1], y vai de x^2 até 1. Assim
integral0^1l[integral-raiz y^raiz yf(x,y),dxr]dy =integral-1^1l[integralx^2^1f(x,y),dyr]dx

Passo 5

Caso (d):
integral1^el[integralln x^xf(x,y),dyr]dx
A região é (x,y)mid1<= x<= e,;ln x<= y<= x. Um y qualquer satisfaz 0<= y<= e, mas a forma de x muda em y=1:
  • Se 0<= y<=1, então ln x<= y x<= e^y e y<= x x>=1.
  • Se 1<= y<= e, então ln x<= y é automaticamente x<= e, e y<= x x>= y.
    Logo
integral1^el[integralln x^xf(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integral1^e^yf(x,y),dxr]dy +integral1^el[integraly^ef(x,y),dxr]dy

Passo 6

Caso (f):
integral-1^1l[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y),dyr]dx
É o disco x^2+y^2<=1. Invertendo, yin[-1,1] e para cada y, x vai de -raiz1-y^2 a raiz1-y^2:
integral-1^1l[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y),dyr]dx =integral-1^1l[integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2f(x,y),dxr]dy

Passo 7

Caso (g):
integral-1^1l[integralx^2^raiz2-x^2f(x,y),dyr]dx
A região é (x,y)mid -1<= x<=1,;x^2<= y<=raiz2-x^2. Para cada yin[0,raiz2] há duas fases:
  • 0<= y<=1: então x^2<= y é |x|<=raiz y;
  • 1<= y<=raiz2: então y<=raiz2-x^2 é |x|<=raiz2-y^2.
    Portanto
integral-1^1l[integralx^2^raiz2-x^2f(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integral-raiz y^raiz yf(x,y),dxr]dy +integral1^raiz2l[integral-raiz2-y^2^raiz2-y^2f(x,y),dxr]dy

Passo 8

Caso (h):
integral0^pi4l[integralsin x^cos xf(x,y),dyr]dx
Região (x,y)mid0<= x<=pi/4,;sin x<= y<=cos x. Para 0<= y<=1 vemos que em y=tfracraiz22 trocam-se as curvas:
  • Se 0<= y<=tfracraiz22, então sin x<= y x<=arcsin y.
  • Se tfracraiz22<= y<=1, então y<=cos x x<=arccos y.
    Em ambos x>=0. Logo
integral0^pi4l[integralsin x^cos xf(x,y),dyr]dx =integral0^raiz22l[integral0^arcsin yf(x,y),dxr]dy +integralraiz22^1l[integral0^arccos yf(x,y),dxr]dy

Passo 9

Caso (i):
integral0^3l[integralx^2-2x^raiz3xf(x,y),dyr]dx
Aqui y fica entre x^2-2x e raiz3x. O mínimo de x^2-2x em [0,3] é -1 e o máximo de raiz3x é 3. Para inverter resolvemos
x^2-2x<= y<=raiz3x
e achamos raízes x=1pmraiz1+y de x^2-2x-y=0, além de x>= y^2/3 de y<=raiz3x. O limite inferior muda em y=0:
  • Se -1<= y<=0, então 1-raiz1+y>=0 é o limite inferior e 1+raiz1+y o superior.
  • Se 0<= y<=3, 1-raiz1+y<0 e o limite inferior é y^2/3, superior 1+raiz1+y.
    Logo
integral0^3l[integralx^2-2x^raiz3xf(x,y),dyr]dx =integral-1^0l[integral,1-raiz1+y^,1+raiz1+yf(x,y),dxr]dy +integral0^3l[integral,y^2/3^,1+raiz1+yf(x,y),dxr]dy

Resposta

(a)
integral0^1l[integral0^xf(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integraly^1f(x,y),dxr]dy
(b)
integral0^1l[integralx^2^xf(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integralraiz y^1f(x,y),dxr]dy
(c)
integral0^1l[integral-raiz y^raiz yf(x,y),dxr]dy =integral-1^1l[integralx^2^1f(x,y),dyr]dx
(d)
integral1^el[integralln x^xf(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integral1^e^yf(x,y),dxr]dy +integral1^el[integraly^ef(x,y),dxr]dy
(f)
integral-1^1l[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y),dyr]dx =integral-1^1l[integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2f(x,y),dxr]dy
(g)
integral-1^1l[integralx^2^raiz2-x^2f(x,y),dyr]dx =integral0^1l[integral-raiz y^raiz yf(x,y),dxr]dy +integral1^raiz2l[integral-raiz2-y^2^raiz2-y^2f(x,y),dxr]dy
(h)
integral0^pi4l[integralsin x^cos xf(x,y),dyr]dx =integral0^raiz22l[integral0^arcsin yf(x,y),dxr]dy +integralraiz22^1l[integral0^arccos yf(x,y),dxr]dy
(i)
integral0^3l[integralx^2-2x^raiz3xf(x,y),dyr]dx =integral-1^0l[integral1-raiz1+y^1+raiz1+yf(x,y),dxr]dy +integral0^3l[integraly^2/3^1+raiz1+yf(x,y),dxr]dy

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