Em cada caso inverta a ordem de integração.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
f)
.
g)
.
h)
.
i)
.
a)
b)
c)
d)
f)
g)
h)
i)
Passo 1
O enunciado pede, em cada caso, inverter a ordem de integração de uma integral dupla
O método geral é descrever a região
determinar para qual
ela existe e, para cada
, encontrar o intervalo de
. Assim obtemos
Passo 2
Caso (a):
Aqui
. Para cada
em
,
vai de
até
. Logo
Passo 3
Caso (b):
A região é
. Isso equivale a
e, para cada
,
. Como
, temos
Passo 4
Caso (c):
Aqui
. Para cada
,
vai de
até
. Assim
Passo 5
Caso (d):
A região é
. Um
qualquer satisfaz
, mas a forma de
muda em
:
- Se
, então dá e dá . - Se
, então é automaticamente , e dá .
Logo
Passo 6
Caso (f):
É o disco
. Invertendo,
e para cada
,
vai de
a
:
Passo 7
Caso (g):
A região é
. Para cada
há duas fases:
-
: então é ; -
: então é .
Portanto
Passo 8
Caso (h):
Região
. Para
vemos que em
trocam-se as curvas:
- Se
, então dá . - Se
, então dá .
Em ambos. Logo
Passo 9
Caso (i):
Aqui
fica entre
e
. O mínimo de
em
é
e o máximo de
é
. Para inverter resolvemos
e achamos raízes
de
, além de
de
. O limite inferior muda em
:
- Se
, então é o limite inferior e o superior. - Se
, e o limite inferior é , superior .
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(f)
(g)
(h)
(i)