Seja T: V V uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita V tal que T^2=T.
(1) Mostre que os autovalores de T são 0 e 1.
(2) T é diagonalizável? Explique.

Lista de Exercícios sobre Espaços Vetoriais com Produto Interno

1
Prove que o produto interno definido em R^2 por
lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==3 x1 x2+2 y1 y2
satisfaz as propriedades de um produto interno.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:Vto V em espaço vetorial de dimensão finita tal que
T^2 = T
Ou seja, T é idempotente. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Quais são os possíveis autovalores de T.
  2. Se T é diagonalizável.
Para isso vamos usar:
  • Definição de autovalor/vetor próprio: T(v)=lambda v.
  • Propriedade de operadores idempotentes na relação com autovalores.
  • Critério de diagonalização via polinômio minimal: se ele se fatora como produto de fatores lineares distintos, então o operador é diagonalizável.

Passo 2

Seja vneq0 um autovetor de T com autovalor lambda. Então
T(v)=lambda v
e aplicando T de novo,
T^2(v)=T(lambda v)=lambda,T(v)=lambda^2 v
Mas como T^2=T, também vale
T^2(v)=T(v)=lambda v
Comparando,
lambda^2 v = lambda v Longrightarrow (lambda^2 - lambda),v =0
Como vneq0, segue lambda^2-lambda=0, ou seja
lambda(lambda-1)=0 Longrightarrow lambda=0 ou lambda=1

Passo 3

O polinômio minimal de T é um divisor de
x^2 - x = x(x-1),
cuja fatoração em K[x] (campo de base) é produto de fatores lineares distintos. Logo o polinômio minimal de T tem raízes simples, e pelo critério de diagonalização concluímos que T é diagonalizável.
Uma outra visão é usar a decomposição direta
V = ker T ;oplus;ImT,
em que T age como zero em ker T e como identidade em ImT. Escolhendo bases adequadas em cada subespaço, a matriz de T fica diagonal com entradas apenas 0 e 1.

Resposta

(1) Os autovalores de T são 0 e 1.
(2) Sim, T é diagonalizável, pois o polinômio minimal de T se fatora em x(x-1) com raízes simples.

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