Seja
uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita
tal que
.
(1) Mostre que os autovalores de
são 0 e 1.
(2)
é diagonalizável? Explique.
Lista de Exercícios sobre Espaços Vetoriais com Produto Interno
1
Prove que o produto interno definido em
por
satisfaz as propriedades de um produto interno.
(1) Mostre que os autovalores de
(2)
Prove que o produto interno definido em
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
em espaço vetorial de dimensão finita tal que
Ou seja,
é idempotente. Precisamos mostrar duas coisas:
- Quais são os possíveis autovalores de
. - Se
é diagonalizável.
Para isso vamos usar:
- Definição de autovalor/vetor próprio:
. - Propriedade de operadores idempotentes na relação com autovalores.
- Critério de diagonalização via polinômio minimal: se ele se fatora como produto de fatores lineares distintos, então o operador é diagonalizável.
Passo 2
Seja
um autovetor de
com autovalor
. Então
e aplicando
de novo,
Mas como
, também vale
Comparando,
Como
, segue
, ou seja
Passo 3
O polinômio minimal de
é um divisor de
cuja fatoração em
(campo de base) é produto de fatores lineares distintos. Logo o polinômio minimal de
tem raízes simples, e pelo critério de diagonalização concluímos que
é diagonalizável.
Uma outra visão é usar a decomposição direta
em que
age como zero em
e como identidade em
. Escolhendo bases adequadas em cada subespaço, a matriz de
fica diagonal com entradas apenas
e
.
Resposta
(1) Os autovalores de
são
e
.
(2) Sim, é diagonalizável, pois o polinômio minimal de
se fatora em
com raízes simples.
(2) Sim,