Seja A uma matriz 3 times 3 real tal que A^3=I, onde I é a matriz identidade.
(1) Quais são os possíveis autovalores de A?
(2) É possível que A seja diagonalizável sobre R? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real 3times3 tal que A^3=I. O conteúdo principal aqui é entender que, se lambda é autovalor de A, então lambda^3=1, e depois discutir se esses autovalores podem todos ser reais para permitir diagonalização sobre R.

Passo 2

Se vneq0 satisfaz Av=lambda v, então
A^3v = A(Av,)=A(lambda v)=lambda A v=lambda^2(lambda v)=lambda^3 v,
mas também A^3v=Iv=v. Logo lambda^3 v=v e, como vneq0, segue
lambda^3=1
As raízes cúbicas de unity são
lambdain1,;e^2pi i/3,;e^4pi i/3

Passo 3

Como A é real, cada autovalor complexo não real aparece com seu conjugado. Dos três valores acima, o único real é lambda=1; os outros dois formam um par conjugado e^2pi i/3 e e^-2pi i/3. Assim, o polinômio característico em R[x] se factoriza como
(x-1)l(x^2+x+1r)

Passo 4

Para diagonalizar A sobre R precisamos de três autovalores reais (uma base de R^3 de autovetores reais). Mas só temos um autovalor real, 1, de multiplicidade geométrica no máximo igual à sua multiplicidade algébrica. Logo não há lugar para mais autovalores reais, a menos que o fator x^2+x+1 reduza a (x-1)^2, o que só ocorre se x^2+x+1=(x-1)^2, ou seja, se A=I. Portanto, salvo o caso trivial A=I, não existem três autovalores reais e A não pode ser diagonalizável sobre R.

Resposta

(1) Os autovalores possíveis são
1, e^2pi i/3, e^4pi i/3
(2) A só é diagonalizável sobre R no caso trivial A=I. Em geral, não é possível obter três autovalores reais distintos ou independentes, logo não há diagonalização em R.

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