Seja A uma matriz
real tal que
, onde
é a matriz identidade.
(1) Quais são os possíveis autovalores de A?
(2) É possível que A seja diagonalizável sobre
? Explique.
(1) Quais são os possíveis autovalores de A?
(2) É possível que A seja diagonalizável sobre
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz real
tal que
. O conteúdo principal aqui é entender que, se
é autovalor de
, então
, e depois discutir se esses autovalores podem todos ser reais para permitir diagonalização sobre
.
Passo 2
Se
satisfaz
, então
mas também
. Logo
e, como
, segue
As raízes cúbicas de unity são
Passo 3
Como
é real, cada autovalor complexo não real aparece com seu conjugado. Dos três valores acima, o único real é
; os outros dois formam um par conjugado
e
. Assim, o polinômio característico em
se factoriza como
Passo 4
Para diagonalizar
sobre
precisamos de três autovalores reais (uma base de
de autovetores reais). Mas só temos um autovalor real,
, de multiplicidade geométrica no máximo igual à sua multiplicidade algébrica. Logo não há lugar para mais autovalores reais, a menos que o fator
reduza a
, o que só ocorre se
, ou seja, se
. Portanto, salvo o caso trivial
, não existem três autovalores reais e
não pode ser diagonalizável sobre
.
Resposta
(1) Os autovalores possíveis são
(2)
só é diagonalizável sobre
no caso trivial
. Em geral, não é possível obter três autovalores reais distintos ou independentes, logo não há diagonalização em
.