(1) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de A multiplicados pelos autovalores de B?
(2) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de B A?
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 01 & 1, B = 1 & 20 & 1
e pergunta:
(1) Será que os autovalores de AB coincidem com o produto dos autovalores de A pelos de B?
(2) Será que os autovalores de AB são iguais aos autovalores de BA?
O conteúdo aqui é análise de autovalores de produto de matrizes e comparação entre AB e BA.
Passo 2
Primeiro achamos os autovalores de e de . Como ambas são triangulares, cada autovalor é dado pela diagonal. Logo
O produto de um autovalor de por um de sempre seria .
Passo 3
Agora calculamos
Seu traço é e seu determinante . A equação característica é
cuja solução é
Como , vemos que os autovalores de não são todos iguais a . Portanto a resposta da parte (1) é não.
Passo 4
Em seguida calculamos
Aqui e . A equação característica é a mesma ,
de onde .
Logo . Isso mostra que a parte (2) é sim.