Considere as seguintes matrizes
A=(ll 1 & 0 1 & 1 ), B=(ll 1 & 2 0 & 1 )
(1) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de A multiplicados pelos autovalores de B?
(2) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de B A?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 01 & 1, B = 1 & 20 & 1
e pergunta:
(1) Será que os autovalores de AB coincidem com o produto dos autovalores de A pelos de B?
(2) Será que os autovalores de AB são iguais aos autovalores de BA?
O conteúdo aqui é análise de autovalores de produto de matrizes e comparação entre AB e BA.

Passo 2

Primeiro achamos os autovalores de e de . Como ambas são triangulares, cada autovalor é dado pela diagonal. Logo
O produto de um autovalor de por um de sempre seria .

Passo 3

Agora calculamos
Seu traço é e seu determinante . A equação característica é
cuja solução é
Como , vemos que os autovalores de não são todos iguais a . Portanto a resposta da parte (1) é não.

Passo 4

Em seguida calculamos
Aqui e . A equação característica é a mesma
,
de onde
.
Logo . Isso mostra que a parte (2) é sim.

Resposta

(1) Não.
(2) Sim.

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