Seja T: P3(R) P3(R) a transformação linear definida por T(p(x))=p^prime(x), onde p^prime(x) é a derivada de p(x).
(a) Determine a matriz de T em relação à base 1, x, x^2, x^3.
(b) Calcule o núcleo e a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P3(R)to P3(R)
por
Tl(p(x)r)=p'(x),
ou seja, deriva cada polinômio de grau <=3. Pede:
(a) a matriz de T na base 1,x,x^2,x^3;
(b) o núcleo e a imagem de T.

Passo 2

Vamos calcular T agindo sobre cada vetor da base. Para
p(x)=a+bx+cx^2+dx^3
temos
p'(x)=b+2cx+3dx^2
Em particular:
T(1)=0,
T(x)=1,
T(x^2)=2x,
T(x^3)=3x^2.

Passo 3

Expressamos cada imagem na base 1,x,x^2,x^3:
0 = 0cdot1+0cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3,
1 = 1cdot1+0cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3,
2x = 0cdot1+2cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3,
3x^2 = 0cdot1+0cdot x+3cdot x^2+0cdot x^3
Cada coluna da matriz de T é justamente o vetor de coeficientes acima, na ordem (1,x,x^2,x^3).

Passo 4

A matriz de T na base 1,x,x^2,x^3 fica
[T] = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Para encontrar o núcleo, resolvemos
T(p)=0 ;Long<=ftrightarrow; p'(x)=0forall x
ou seja b+2cx+3dx^2equiv0, impondo b=c=d=0. Logo
p(x)=a
e
ker(T)=acolon ainR=span1

Passo 6

A imagem de T é gerada pelos vetores T(1),T(x),T(x^2),T(x^3), mas T(1)=0, e os outros geram
1,;2x,;3x^2=span1,x,x^2
Como esse é precisamente o espaço dos polinômios de grau <=2, temos
Im(T)=P2(R)

Resposta

(a) A matriz de T na base 1,x,x^2,x^3 é
0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0
(b) ker(T)=span1, Im(T)=span1,x,x^2=P2(R)

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