Seja
a transformação linear definida por
, onde
é a derivada de
.
(a) Determine a matriz de
em relação à base
.
(b) Calcule o núcleo e a imagem de
.
(a) Determine a matriz de
(b) Calcule o núcleo e a imagem de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
por
ou seja, deriva cada polinômio de grau
. Pede:
(a) a matriz de na base
;
(b) o núcleo e a imagem de .
(a) a matriz de
(b) o núcleo e a imagem de
Passo 2
Vamos calcular
agindo sobre cada vetor da base. Para
temos
Em particular:
,
,
,
.
Passo 3
Expressamos cada imagem na base
:
Cada coluna da matriz de
é justamente o vetor de coeficientes acima, na ordem
.
Passo 4
A matriz de
na base
fica
Passo 5
Para encontrar o núcleo, resolvemos
ou seja
b+2cx+3dx^2equiv0 , impondo
b=c=d=0 . Logo
e
Passo 6
A imagem de
T é gerada pelos vetores
T(1),T(x),T(x^2),T(x^3) , mas
T(1)=0 , e os outros geram
Como esse é precisamente o espaço dos polinômios de grau
<=2 , temos
Resposta
(a) A matriz de
T na base
1,x,x^2,x^3 é
(b)
ker(T)=span1, Im(T)=span1,x,x^2=P2(R)