Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se A é invertível, então A neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, a condição “ A é invertível” implica que Aneq 0. O conteúdo envolvido é a definição de matriz invertível (existência de inverso) e a propriedade de que apenas a matriz identidade pode surgir de um produto que envolva o inverso.

Passo 2

Por definição, A é invertível se existe uma matriz B tais que
A,B = I

Passo 3

Suponha, para fins de contradição, que A seja invertível e ao mesmo tempo igual à matriz zero, isto é, A=0. Então, substituindo em A,B=I, vem
0cdot B = I,
ou seja,
0 = I,
o que é impossível porque a matriz zero e a matriz identidade diferem em pelo menos uma entrada.

Passo 4

Essa contradição mostra que não pode haver matriz invertível igual a zero. Logo, se A é invertível, necessariamente
A neq 0

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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