Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se
é invertível, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes quadradas
e
de mesmo tamanho, a condição “
é invertível” implica que
. O conteúdo envolvido é a definição de matriz invertível (existência de inverso) e a propriedade de que apenas a matriz identidade pode surgir de um produto que envolva o inverso.
Passo 2
Por definição,
é invertível se existe uma matriz
tais que
Passo 3
Suponha, para fins de contradição, que
seja invertível e ao mesmo tempo igual à matriz zero, isto é,
. Então, substituindo em
, vem
ou seja,
o que é impossível porque a matriz zero e a matriz identidade diferem em pelo menos uma entrada.
Passo 4
Essa contradição mostra que não pode haver matriz invertível igual a zero. Logo, se
é invertível, necessariamente
Resposta
A afirmação é verdadeira.