Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se A^3=I, então A é invertível.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada A de ordem n, vale
A^3 = In
e pede para mostrar que então A é invertível. Vamos usar a definição de matriz invertível e propriedades de potências de matrizes.

Passo 2

Lembrando que A é invertível se existe uma matriz B tal que
A B = In e B A = In
O objetivo é encontrar um candidato a B em função de A.

Passo 3

Como A^3 = In, podemos reescrever
A^3 = Acdot A^2 = In
Isso sugere tomar
B = A^2

Passo 4

Verificamos agora que B = A^2 funciona como inversa de A:
A,B = A,(A^2) = A^3 = In,
B,A = (A^2),A = A^3 = In
Logo, A possui inversa e, portanto, é invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira e a inversa de A é
A^-1 = A^2

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