Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se
, então
é invertível.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada
de ordem
, vale
e pede para mostrar que então
é invertível. Vamos usar a definição de matriz invertível e propriedades de potências de matrizes.
Passo 2
Lembrando que
é invertível se existe uma matriz
tal que
O objetivo é encontrar um candidato a
em função de
.
Passo 3
Como
, podemos reescrever
Isso sugere tomar
Passo 4
Verificamos agora que
funciona como inversa de
:
Logo,
possui inversa e, portanto, é invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira e a inversa de
é