Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se
e
são ambas invertíveis, então
é invertível.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que “se
e
são matrizes quadradas invertíveis do mesmo tamanho, então
é invertível”. O conteúdo aqui é a invertibilidade de matrizes, que está ligada ao determinante: uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se,
.
Passo 2
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um exemplo de duas matrizes
e
ambas invertíveis, mas cuja soma
não é invertível. Uma escolha simples é
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Verificamos:
portanto
e
são invertíveis. Porém
e
logo
não é invertível.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, para
e
temos
e
invertíveis, mas
não é invertível.