Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se A e B são ambas invertíveis, então A+B é invertível.

Passo 1

O enunciado afirma que “se A e B são matrizes quadradas invertíveis do mesmo tamanho, então A+B é invertível”. O conteúdo aqui é a invertibilidade de matrizes, que está ligada ao determinante: uma matriz quadrada M é invertível se, e somente se, det(M)neq0.

Passo 2

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um exemplo de duas matrizes A e B ambas invertíveis, mas cuja soma A+B não é invertível. Uma escolha simples é
A = In, B = -In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Verificamos:
det(A) = det(In) = 1 neq 0, det(B) = det(-In) = (-1)^ndet(In) = pm1 neq 0,
portanto A e B são invertíveis. Porém
A + B = In + (-In) = 0n,
e
det(A+B) = det(0n) = 0,
logo A+B não é invertível.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para A=In e B=-In temos A e B invertíveis, mas A+B=0n não é invertível.

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