Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se A B=0 e A neq 0, então B=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, a condição
AB = 0 e A neq 0
implica necessariamente que B=0. O conteúdo envolve noções de núcleo ( ker) e imagem ( im) de uma transformação linear representada por A.

Passo 2

Lembre que, se A fosse invertível, de AB=0 seguiria imediatamente B=A^-1(AB)=0. Mas o enunciado só pede Aneq0, não supõe invertibilidade. De fato, se A não for invertível, ela terá núcleo não-trivial, e basta escolher Bneq0 com im(B)subseteqker(A) para garantir AB=0 sem anular B.

Passo 3

Vamos dar um exemplo concreto em dimensão 2. Defina
A = 0 & 1 [-6pt]0 & 0, B = 1 & 0 [-4pt]0 & 0
Note que Aneq0 pois seu único elemento não nulo é a12=1, e Bneq0 pois b11=1.]

Passo 4

Calculemos o produto:
AB = 0 & 1 [-4pt]0 & 0 1 & 0 [-4pt]0 & 0 = 0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot0 + 1cdot0 [-4pt] 0cdot1 + 0cdot0 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 [-4pt]0 & 0
Logo AB=0 apesar de Aneq0 e Bneq0.]

Resposta

A afirmação é falsa, e o contraexemplo acima mostra isso.

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