Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas matrizes quadradas
e
de mesma ordem, a condição
implica necessariamente que
. O conteúdo envolve noções de núcleo (
) e imagem (
) de uma transformação linear representada por
.
Passo 2
Lembre que, se
fosse invertível, de
seguiria imediatamente
. Mas o enunciado só pede
, não supõe invertibilidade. De fato, se
não for invertível, ela terá núcleo não-trivial, e basta escolher
com
para garantir
sem anular
.
Passo 3
Vamos dar um exemplo concreto em dimensão
. Defina
Note que
pois seu único elemento não nulo é
, e
pois
.]
Passo 4
Calculemos o produto:
Logo
apesar de
e
.]
Resposta
A afirmação é falsa, e o contraexemplo acima mostra isso.