Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se
é invertível e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é invertível (ou seja, existe uma matriz
tal que
) e que existe uma matriz
com
Precisamos mostrar que necessariamente
. Para isso, usaremos a associatividade da multiplicação de matrizes e as propriedades da matriz inversa.
Passo 2
Como
é invertível, existe
satisfazendo
Passo 3
Multiplicamos a igualdade
pela esquerda por
:
Pela associatividade, isso é
Mas
e
, logo
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
é invertível e
, então necessariamente
.