Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se A é invertível e A C=I, então C=A^-1.

Passo 1

O enunciado diz que A é invertível (ou seja, existe uma matriz A^-1 tal que A^-1A=AA^-1=I) e que existe uma matriz C com
A,C = I
Precisamos mostrar que necessariamente C = A^-1. Para isso, usaremos a associatividade da multiplicação de matrizes e as propriedades da matriz inversa.

Passo 2

Como A é invertível, existe A^-1 satisfazendo
A^-1A = I e AA^-1 = I

Passo 3

Multiplicamos a igualdade A,C = I pela esquerda por A^-1:
A^-1(A,C) = A^-1I
Pela associatividade, isso é
(A^-1A),C = A^-1
Mas A^-1A = I e A^-1I = A^-1, logo
I,C = A^-1 Longrightarrow C = A^-1

Resposta

A afirmação é verdadeira: se A é invertível e A,C=I, então necessariamente C=A^-1.

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