Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
Se A^2 é invertível, então A é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo A uma matriz quadrada, a invertibilidade de A^2 implica a invertibilidade de A.
Conteúdo: definição de matriz invertível e propriedades de determinantes de matrizes quadradas.

Passo 2

Sabemos que uma matriz quadrada M é invertível se, e somente se, det Mneq 0. Além disso, vale a propriedade
det(A^2);=;det(Acdot A);=;det A;cdot;det A;=;(det A)^2

Passo 3

Como A^2 é invertível, temos det(A^2)neq 0. Então
(det A)^2;=;det(A^2);neq;0
implica det Aneq 0. Portanto, A é invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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