Para a, b, c in Z, mostre que
(-1) a=-a;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Z munido das operações usuais de soma e produto, vale
(-1),a ;=;-a,,
onde -a é o inverso aditivo de a. Para isso vamos usar os axiomas de anel: existência de elemento neutro 0 para a soma, inverso aditivo, elemento neutro 1 para o produto e a propriedade distributiva.

Passo 2

Pela distributividade do produto sobre a soma em Z, temos
(-1 + 1),a ;=;(-1),a ;+;1cdot a

Passo 3

Como -1 + 1 = 0 e 1cdot a = a, a igualdade do passo anterior fica
0cdot a ;=;(-1),a ;+;a

Passo 4

Também pelo axioma de anel, qualquer ainZ satisfaz 0cdot a = 0. Logo
0 = (-1),a + a,
isto é, (-1),a é um elemento que somado a a dá zero, ou seja, é o inverso aditivo de a.

Passo 5

Pelo fato de o inverso aditivo de um elemento ser único, concluímos
(-1),a = -a

Resposta

(-1),a = -a

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