Por inspeção determine os autovalores de cada matriz.
(a) \left[\begin{array}{cc}-\sqrt{2} & 6 \\\\ 0 & 5 \sqrt{2}\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 7 & 0 \\\\ 4 & 8 & 1\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para, por inspeção, determinar os autovalores de três matrizes. O conteúdo que vamos usar é o fato de que, para matrizes triangulares (ou diagonais), os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Em teoria, se A é uma matriz triangular (superior ou inferior) ou diagonal, então seu polinômio característico se fatoriza como
\det(A-\lambda I)=\prod_{i}(a_{ii}-\lambda)\,,
onde a_{ii} são as entradas da diagonal principal. Logo, os autovalores de A são \{a_{11},a_{22},\dots\}.

Passo 3

Aplicando esse resultado à matriz do item (a):
\begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 6\\\\ 0 & 5\sqrt{2} \end{pmatrix},
que é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal, isto é
\lambda_1 = -\sqrt{2}, \quad \lambda_2 = 5\sqrt{2}.

Passo 4

Para a matriz do item (b):
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 2 & 7 & 0\\\\ 4 & 8 & 1 \end{pmatrix},
que é triangular inferior, os autovalores são também as entradas da diagonal, ou seja
\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = 7,\quad \lambda_3 = 1.

Passo 5

Na matriz do item (c), que já é diagonal:
\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix},
os autovalores são os elementos da diagonal, com -\tfrac{1}{3} repetido duas vezes. Logo
\lambda_1 = -\tfrac{1}{3},\; \lambda_2 = -\tfrac{1}{3},\; \lambda_3 = 1,\; \lambda_4 = \tfrac{1}{2}.

Resposta

(a) -\sqrt{2},\;5\sqrt{2}
(b) 3,\;7,\;1
(c) -\tfrac{1}{3},\;- \tfrac{1}{3},\;1,\;\tfrac{1}{2}

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