Em cada caso mostre que é uma autofunção do operador e encontre o autovalor.
(
)\hat{A}f(x)\frac{d^{2}}{d x^{2}}+2 \frac{d}{d x}+3e^{\alpha x}(
\
)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador
hat A = d^2dx^2 + 2ddx + 3
e a função candidata
f(x)=e^alpha x.
Queremos mostrar que ao aplicarmos hat A em f obtemos um múltiplo de f e, assim, identificar o autovalor lambda.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f(x):
ddxe^alpha x =alpha,e^alpha x,
d^2dx^2e^alpha x =alpha^2,e^alpha x

Passo 3

Agora aplicamos hat A em f:
hat A f(x) =d^2fdx^2 + 2dfdx+3f =alpha^2e^alpha x +2l(alpha e^alpha xr) +3e^alpha x

Passo 4

Fatorando e^alpha x, obtemos
hat A f(x) =l(alpha^2+2alpha+3r),e^alpha x =lambda,f(x),
onde
lambda=alpha^2+2alpha+3

Resposta

lambda = alpha^2 + 2alpha + 3

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