Um objeto de massa m é preso à extremidade livre de uma corda rígida de massa desprezível e de comprimento L, que tem sua outra extremidade presa verticalmente em um ponto fixo. Em seguida, o objeto é deslocado lateralmente e o sistema passa a oscilar no tempo com pequena amplitude.
a) Represente, na figura, as forças que atuam no objeto de massa m.
b) Usando a 2^a lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento do objeto para theta para o caso de pequenas oscilações (sin theta approx theta) e sua solução para theta(t).
c) O que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para 3 m e o comprimento da corda for aumentado para 4 L ?
d) Mostre que a energia total do pêndulo em pequenas oscilações é E=12 m g L theta^2. Dica: use cos theta approx 1-12 theta^2 para theta pequeno.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples: um objeto de massa m preso em uma corda de comprimento L que oscila com pequenas amplitudes. Vamos usar conceitos de física sobre forças, a segunda lei de Newton e energia em oscilações pequenas para resolver os itens a) até d).

Passo 2

a) Representar as forças que atuam no objeto de massa m.
Quando o pêndulo está oscilando, duas forças principais atuam no objeto:
  1. Força Peso ( P): Essa força aponta para baixo e é dada por P = m g, onde g é a aceleração da gravidade.
  2. Força Tensão ( T): Essa força é exercida pela corda e aponta ao longo da corda, na direção que mantém o objeto preso.
Figura ilustrativa: Imagine uma corda inclinada formando um ângulo theta com a vertical. A força peso aponta direto para baixo, e a tensão na corda está alinhada com ela, na direção da corda.

Passo 3

b) Escrever a equação diferencial de movimento usando a 2^a lei de Newton para pequenas oscilações e encontrar theta(t).
Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção tangencial ao movimento do pêndulo. Considerando pequenas amplitudes, podemos aproximar sin theta approx theta.
  1. Força tangencial ( Ft): A componente da força peso que atua ao longo da trajetória do pêndulo é Ft = -m g theta.
  2. Segunda lei de Newton: F = m a, onde a é a aceleração angular. Para o pêndulo, a = L d^2 thetadt^2.
Montando a equação:
-m g theta = m L d^2 thetadt^2
Simplificando:
d^2 thetadt^2 + gL theta = 0
Essa é uma equação diferencial harmônica simples, cuja solução geral é:
theta(t) = theta0 cos(raizgL, t + phi)
onde theta0 é a amplitude inicial e phi é a fase.

Passo 4

c) O que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para 3 m e o comprimento da corda for aumentado para 4 L?
A frequência angular do pêndulo é dada por:
omega = raizgL
Se aumentarmos a massa para 3m e o comprimento para 4L, a nova frequência angular será:
omega' = raizg4L = 12raizgL = omega2
A frequência f está relacionada por f = omega2pi, então dobramos o denominador, e a nova frequência será metade da original.

Passo 5

d) Mostrar que a energia total do pêndulo em pequenas oscilações é E=12 m g L theta^2.
A energia total E do pêndulo é a soma da energia cinética e da energia potencial.
  1. Energia Potencial ( U):
    Para pequenas oscilações, a altura h que o pêndulo sobe é aproximadamente:
h approx L (1 - cos theta) approx L (1 - (1 - 12 theta^2)) = 12 L theta^2
Então, a energia potencial é:
U = m g h = m g cdot 12 L theta^2 = 12 m g L theta^2
  1. Energia Cinética ( K):
    Para oscilações pequenas, a energia cinética média também será proporcional a theta^2, mas considerando que no ponto de máxima amplitude a velocidade é zero, a energia total permanece constante e igual à energia potencial máxima.
Portanto, a energia total do pêndulo é:
E = 12 m g L theta^2

Resposta

A energia total do pêndulo em pequenas oscilações é E = 12 m g L theta^2.

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