Um objeto de massa
é preso à extremidade livre de uma corda rígida de massa desprezível e de comprimento
, que tem sua outra extremidade presa verticalmente em um ponto fixo. Em seguida, o objeto é deslocado lateralmente e o sistema passa a oscilar no tempo com pequena amplitude.
a) Represente, na figura, as forças que atuam no objeto de massa
.
b) Usando a
lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento do objeto para
para o caso de pequenas oscilações
e sua solução para
.
c)
que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para
e o comprimento da corda for aumentado para
?
d) Mostre que a energia total do pêndulo em pequenas oscilações é
. Dica: use
para
pequeno.
a) Represente, na figura, as forças que atuam no objeto de massa
b) Usando a
c)
d) Mostre que a energia total do pêndulo em pequenas oscilações é
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples: um objeto de massa
preso em uma corda de comprimento
que oscila com pequenas amplitudes. Vamos usar conceitos de física sobre forças, a segunda lei de Newton e energia em oscilações pequenas para resolver os itens a) até d).
Passo 2
a) Representar as forças que atuam no objeto de massa
.
Quando o pêndulo está oscilando, duas forças principais atuam no objeto:
- Força Peso (
): Essa força aponta para baixo e é dada por , onde é a aceleração da gravidade. - Força Tensão (
): Essa força é exercida pela corda e aponta ao longo da corda, na direção que mantém o objeto preso.
Figura ilustrativa: Imagine uma corda inclinada formando um ângulo
com a vertical. A força peso aponta direto para baixo, e a tensão na corda está alinhada com ela, na direção da corda.
Passo 3
b) Escrever a equação diferencial de movimento usando a
lei de Newton para pequenas oscilações e encontrar
.
Vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção tangencial ao movimento do pêndulo. Considerando pequenas amplitudes, podemos aproximar
.
- Força tangencial (
): A componente da força peso que atua ao longo da trajetória do pêndulo é . - Segunda lei de Newton:
, onde é a aceleração angular. Para o pêndulo, .
Montando a equação:
Simplificando:
Essa é uma equação diferencial harmônica simples, cuja solução geral é:
onde
é a amplitude inicial e
é a fase.
Passo 4
c) O que acontece com a frequência de oscilação se a massa for aumentada para
e o comprimento da corda for aumentado para
?
A frequência angular do pêndulo é dada por:
Se aumentarmos a massa para
e o comprimento para
, a nova frequência angular será:
A frequência
está relacionada por
, então dobramos o denominador, e a nova frequência será metade da original.
Passo 5
d) Mostrar que a energia total do pêndulo em pequenas oscilações é
.
A energia total
do pêndulo é a soma da energia cinética e da energia potencial.
- Energia Potencial (
):
Para pequenas oscilações, a alturaque o pêndulo sobe é aproximadamente:
Então, a energia potencial é:
- Energia Cinética (
):
Para oscilações pequenas, a energia cinética média também será proporcional a, mas considerando que no ponto de máxima amplitude a velocidade é zero, a energia total permanece constante e igual à energia potencial máxima.
Portanto, a energia total do pêndulo é:
Resposta
A energia total do pêndulo em pequenas oscilações é
.