Em cada caso, mostre que a função
não tem limite quando
:
Passo 1
Aqui a ideia é mostrar que a função
não tem limite em
. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o critério de caminhos para provar que o valor depende da trajetória de aproximação.
Passo 2
Para mostrar que o limite não existe, lembramos o critério: se ao aproximar
por duas ou mais curvas distintas obtemos resultados diferentes, então o limite de
em
não existe.
Vamos escolher uma família de caminhos dada por , com
um parâmetro real fixo. Substituindo na função:
Vamos escolher uma família de caminhos dada por
Passo 3
Perceba que o valor
depende de
. Por exemplo, se
temos
, e se
temos
. Como obtivemos valores diferentes ao variar o caminho, o limite não pode existir.
Resposta
O limite não existe.