Em cada caso, mostre que a função z=f(x, y) não tem limite quando (x, y) (0,0) :
z=x^6(x^3+y^2)^2

Passo 1

Aqui a ideia é mostrar que a função f(x,y)=dfracx^6(x^3+y^2)^2 não tem limite em (0,0). O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o critério de caminhos para provar que o valor depende da trajetória de aproximação.

Passo 2

Para mostrar que o limite não existe, lembramos o critério: se ao aproximar (x,y)to(0,0) por duas ou mais curvas distintas obtemos resultados diferentes, então o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.
Vamos escolher uma família de caminhos dada por y=t,x^3/2, com t um parâmetro real fixo. Substituindo na função:
fl(x,,t,x^3/2r) =x^6l(x^3+(t,x^3/2)^2r)^2 =x^6l(x^3+t^2x^3r)^2 =x^6x^6,(1+t^2)^2 =1(1+t^2)^2

Passo 3

Perceba que o valor 1/(1+t^2)^2 depende de t. Por exemplo, se t=0 temos 1, e se t=1 temos 1/4. Como obtivemos valores diferentes ao variar o caminho, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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