A seguir, ESCOLHA 3 integrais para calcular
integral tg^5 x sec ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^5 x ,sec^4 x ,dx
O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade sec^2 x=1+tan^2 x e uma substituição apropriada para transformar em uma integral de polinômio.

Passo 2

Escrevemos
sec^4 x = sec^2 xcdot sec^2 x
para reservar uma das sec^2 x para a substituição. A outra será trocada pela identidade sec^2 x=1+tan^2 x.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = tan x, du = sec^2 x,dx
Assim,
integral tan^5 x ,sec^4 x ,dx = integral u^5 l(underbracesec^2 x1+u^2r)underbracesec^2 x,dxdu = integral u^5(1+u^2),du

Passo 4

Expandindo e integrando em u,
integral u^5(1+u^2),du = integral l(u^5 + u^7r),du = u^66 + u^88 + C

Passo 5

Voltando à variável x,
u^66 + u^88 + C = tan^6 x6 + tan^8 x8 + C

Resposta

integral tan^5 x ,sec^4 x ,dx = tan^6 x6 + tan^8 x8 + C

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