Determine o volume do sólido gerado pela rotação em delimitada pelas curvas y=x^2, y=0, x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma área delimitada pelas curvas y = x^2 , y = 0 e x = 1 . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região. A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, y = 0 é o eixo x, e x = 1 é uma linha vertical. Então, a área que vamos girar está entre x = 0 e x = 1 .

Passo 3

O método dos discos envolve integrar a área de cada “disco” perpendicular ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 dx
onde f(x) é a função que descreve a curva acima do eixo de rotação.

Passo 4

No nosso caso, f(x) = x^2 , e os limites de integração são de a = 0 a b = 1 . Então, substituindo na fórmula, temos:
V = pi integral0^1 (x^2)^2 dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(x^2)^2 = x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 x^4 dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de x^4 :
integral x^4 dx = x^55 + C
Como estamos fazendo uma integração definida, só precisamos calcular:
[ x^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15

Passo 7

Multiplicando pelo pi , o volume é:
V = pi times 15 = pi5

Resposta

O volume do sólido gerado é pi5 unidades cúbicas.

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