Determine o volume do sólido gerado pela rotação em delimitada pelas curvas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma área delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região. A curva
é uma parábola que abre para cima,
é o eixo x, e
é uma linha vertical. Então, a área que vamos girar está entre
e
.
Passo 3
O método dos discos envolve integrar a área de cada “disco” perpendicular ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde
é a função que descreve a curva acima do eixo de rotação.
Passo 4
No nosso caso,
, e os limites de integração são de
a
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de
:
Como estamos fazendo uma integração definida, só precisamos calcular:
Passo 7
Multiplicando pelo
, o volume é:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.