Em cada caso, mude de coardenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral0^5(x^2+y^2)^3 / 2 d z d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-2^2integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2integral0^5(x^2+y^2)^3/2,dz,dy,dx
trocando para coordenadas cilíndricas. O conteúdo envolvido é a mudança de variáveis em integrais múltiplas, usando
;x=rcostheta,;y=rsintheta; e o jacobiano r.

Passo 2

Fazendo a substituição
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
temos
x^2+y^2=r^2 Longrightarrow (x^2+y^2)^3/2=(r^2)^3/2=r^3,
e o fator do jacobiano é r, logo o integrando vira r^3cdot r = r^4.

Passo 3

A região em xy é o disco x^2+y^2<= 4, logo
0<= r<= 2, 0<= theta<= 2pi,
e o limite em z permanece 0<= z<= 5.

Passo 4

A integral em coordenadas cilíndricas é
integral0^2piintegral0^2integral0^5r^4,dz,dr,dtheta
Como o integrando separa em cada variável, primeiro calculamos
integral0^5dz = 5, integral0^2pidtheta = 2pi
Então sobra
integral0^2piintegral0^2integral0^5r^4dz,dr,dtheta = (2pi),(5),integral0^2r^4dr =10piintegral0^2r^4dr

Passo 5

Agora calculamos a integral em r:
integral0^2r^4dr = r^55g|0^2 = 325
Multiplicando:
10picdot325 = 2cdot 32,pi = 64pi

Resposta

64pi

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