Em cada caso, mude de coordenadas cartesianas para coardinadas polares, a calcule a integral dupla iterada dada:
integral0^2 integral-raiz4-y^2^0 1(1+x^2+y^2) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral0^2integral-raiz4-y^2^011+x^2+y^2,dx,dy
trocando para coordenadas polares. Vamos identificar a região de integração e reescrever o integrando em polares.

Passo 2

A região D é dada por
0<= y<=2, -raiz4-y^2<= x<=0
Isto é a parte do disco x^2+y^2<=4 com x<=0 e y>=0, ou seja, um setor circular de raio até 2 e ângulo entre theta=pi/2 e theta=pi.

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
e
1+x^2+y^2=1+r^2
O domínio vira
0<= r<=2, pi2<=theta<=pi
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integral0^2integral-raiz4-y^2^011+x^2+y^2,dx,dy =integraltheta=pi/2^piintegralr=0^211+r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral0^2r1+r^2,dr
Fazendo u=1+r^2implies du=2r,dr, resulta
integral0^2r1+r^2,dr =12integralu=1^51u,du =12l[ln ur]1^5 =12ln 5

Passo 5

Agora integramos em theta:
integralpi/2^pidtheta =pi-pi2 =pi2
Multiplicando pelo resultado em r, obtemos
pi2cdot12ln 5 =pi4ln 5

Resposta

pi4ln 5

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