Esboce o gráfico das funções:
f(x)=|x^2-1|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=l|x^2-1r|
O conteúdo principal aqui é manipular valor absoluto e identificar os ramos da parábola x^2-1 onde ela muda de sinal.

Passo 2

Encontramos onde o argumento do valor absoluto muda de sinal, ou seja, as soluções de
x^2-1=0,
que são
x=pm1
Esses pontos partem o domínio em três regiões: x<-1, -1<= x<=1 e x>1.

Passo 3

Em cada região, eliminamos o valor absoluto:
  • Para -1<= x<=1, temos x^2-1<=0, logo f(x)=-(x^2-1)=1 - x^2
  • Para x<= -1 ou x>=1, temos x^2-1>=0, logo f(x)=x^2-1

Passo 4

Analisando cada ramo:
  1. No intervalo -1<= x<=1, f(x)=1-x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,1) e zeros em x=pm1.
  2. Para |x|>=1, f(x)=x^2-1 é a parábola voltada para cima, cujo ponto mínimo em cada lado ocorre em x=pm1 com valor f(pm1)=0, e cresce sem limite conforme lvert xrvert aumenta.

Passo 5

No esboço, plasme:
  • Um arco de parábola invertida ligando (-1,0) a (1,0) passando por (0,1).
  • Dois arcos de parábola normal, um saindo de (-1,0) para -infty em y conforme xto-infty, e outro saindo de (1,0) para infty em y conforme xtoinfty.
    Observe que em x=pm1 há um “canto” (mudança de derivada) mas f é contínua.

Resposta

f(x)= 1 - x^2, & -1 <= x <= 1, x^2 - 1, & |x|>=1
Esboce os dois ramos parabólicos conforme descrito.

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