Em cada caso, mude de coardenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
Passo 1
O enunciado pede que a gente mude de coordenadas cartesianas
para coordenadas cilíndricas
e calcule a integral
O conteúdo principal é a mudança de variável para coordenadas cilíndricas, identificando a região de integração no plano
e ajustando integrand e jacobiano.
Passo 2
Vamos entender a região no plano
. As projeções são
e
.
Isto é meio disco de raio abaixo do eixo
. Em coordenadas polares, isso corresponde a
Isto é meio disco de raio
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas fazemos
o integrando vira
e o elemento de volume é
.
Passo 4
A integral em cilíndricas fica
Agrupando fatores, o integrando é
.
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Logo a integral reduz para
Passo 6
Calculando o integral em
:
Portanto sobra
Passo 7
Sabemos que
pois em qualquer intervalo de comprimento
a integral de
é
.
Logo o resultado final é
Logo o resultado final é