Em cada caso, mude de coardenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral-1^0 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral0^x^2+y^2 32 y^2 z d z d x d y ;

Passo 1

O enunciado pede que a gente mude de coordenadas cartesianas (x,y,z) para coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e calcule a integral
integral-1^0 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral0^x^2+y^2 32,y^2,z ,dz,dx,dy
O conteúdo principal é a mudança de variável para coordenadas cilíndricas, identificando a região de integração no plano xy e ajustando integrand e jacobiano.

Passo 2

Vamos entender a região no plano xy. As projeções são
,yin[-1,0] e xin[-raiz1-y^2,raiz1-y^2].
Isto é meio disco de raio 1 abaixo do eixo x. Em coordenadas polares, isso corresponde a
0 <= r <= 1, pi <= theta <= 2pi

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
o integrando vira
32,y^2,z = 32,(rsintheta)^2,z = 32,r^2sin^2theta,z,
e o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 4

A integral em cilíndricas fica
integraltheta=pi^2pi integralr=0^1 integralz=0^r^2 32,r^2sin^2theta,z;l(r,dz,dr,dthetar)
Agrupando fatores, o integrando é 32,r^3sin^2theta,z.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integral0^r^2z,dz = 12,r^4
Logo a integral reduz para
integralpi^2pi!integral0^1 32,r^3sin^2theta;l(tfrac12r^4r),dr,dtheta =16 integralpi^2pisin^2theta,dtheta integral0^1r^7,dr

Passo 6

Calculando o integral em r:
integral0^1r^7,dr = 18
Portanto sobra
16cdot18 integralpi^2pisin^2theta,dtheta =2, integralpi^2pisin^2theta,dtheta

Passo 7

Sabemos que
integralpi^2pisin^2theta,dtheta =pi2,
pois em qualquer intervalo de comprimento pi a integral de sin^2 é pi/2.
Logo o resultado final é
2cdotpi2=pi

Resposta

pi

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