Em cada caso, mude de coardenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral0^2 integral-raiz4-y^2^0 integral0^4-x^2-y^2 x^2 d z d x d y;

Passo 1

O enunciado fornece a integral
integraly=0^2integralx=-raiz4-y^2^0integralz=0^4 - x^2-y^2 x^2,dz,dx,dy
e pede para mudarmos para coordenadas cilíndricas (r,theta,z) onde x=rcostheta, y=rsintheta e dV = r,dr,dtheta,dz. Vamos usar esse procedimento para simplificar a região e o integrando.

Passo 2

Descrevemos a região no plano xy:
0 <= y <= 2, -raiz4-y^2<= x <= 0
Isso é o setor do círculo x^2+y^2<= 4 no quadrante II, ou seja
0 <= r <= 2, pi2 <= theta <= pi
Em z temos 0 <= z <= 4 - r^2

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas o integrando e o elemento de volume viram
x^2 = r^2cos^2theta, dV = r,dr,dtheta,dz
Logo a integral fica
integraltheta=pi/2^pi integralr=0^2 integralz=0^4 - r^2 l(r^2cos^2thetar),r,dz,dr,dtheta = integralpi/2^pi!integral0^2!integral0^4-r^2r^3cos^2theta,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^4-r^2r^3cos^2theta,dz = r^3cos^2theta;l(4 - r^2r)
Restando
integralpi/2^pi!integral0^2r^3(4 - r^2)cos^2theta,dr,dtheta

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^2r^3(4 - r^2),dr = integral0^2(4r^3 - r^5),dr = l[r^4 - tfracr^66r]0^2 = 16 - tfrac646 = tfrac163
A integral fica então
tfrac163,integralpi/2^picos^2theta,dtheta

Passo 6

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2:
integralpi/2^picos^2theta,dtheta = integralpi/2^pi1+cos2theta2,dtheta = l[tfractheta2 + tfracsin2theta4r]pi/2^pi = l(tfracpi2-tfracpi4r) = tfracpi4

Passo 7

Multiplicando tudo:
tfrac163times tfracpi4 = tfrac16pi12 = tfrac4pi3

Resposta

4pi3

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