Em cada caso, mude de coardenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral-3^0 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralraizx^2+y^2^3 d z d y d x ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-3^0integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2integralraizx^2+y^2^3dz,dy,dx
mudando para coordenadas cilíndricas. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas, usando a parametrização
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
com jacobiano r.

Passo 2

Identificamos a projeção no plano xy:
D=(x,y)mid -3<= x<=0,;-raiz9-x^2<= y<=raiz9-x^2,
que é o semicírculo de raio 3 à esquerda do eixo y.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos
r>=0, x=rcosthetain[-3,0]impliescostheta<=0impliesthetainl[tfracpi2,tfrac3pi2r],
e sobre essa projeção r varia de 0 a 3. O limite em z era de raizx^2+y^2=r até 3.

Passo 4

A integral em cilíndricas fica
integraltheta=pi/2^3pi/2integralr=0^3integralz=r^3r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em z:
integralz=r^3r,dz=rl[,zr]r^3=r(3-r)
Fica então
integralpi/2^3pi/2integral0^3r(3-r),dr,dtheta =l(integralpi/2^3pi/2dthetar)l(integral0^3(3r-r^2),drr)
Calculando
integralpi/2^3pi/2dtheta=pi, integral0^3(3r-r^2),dr =l[tfrac3r^22-tfracr^33r]0^3 =tfrac272-9=tfrac92
Logo o valor da integral é
picdottfrac92=tfrac9pi2

Resposta

9pi2

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