Exercício 1. Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos A=-1,0,1,2 e B=a, b, c, d, e, f. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
f(-1)=f, f(0)=b, f(1)=c, f(2)=a

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: A = -1, 0, 1, 2 e B = a, b, c, d, e, f . A relação dada é f(-1) = f , f(0) = b , f(1) = c , e f(2) = a . Nosso objetivo é:
  1. Fazer um diagrama de Venn para essa relação.
  2. Verificar se essa relação é uma função.
  3. Se for função, dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
  4. Determinar o conjunto imagem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um diagrama de Venn. Um diagrama de Venn é uma representação gráfica que mostra todos os possíveis relacionamentos lógicos entre conjuntos. No nosso caso, queremos representar a relação entre A e B .
Para cada elemento de A , vamos ligá-lo ao elemento correspondente em B conforme a relação dada:
  • -1 está relacionado a f
  • 0 está relacionado a b
  • 1 está relacionado a c
  • 2 está relacionado a a

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa relação é uma função. Uma relação é considerada uma função se cada elemento do conjunto de partida ( A ) está relacionado a apenas um elemento do conjunto de chegada ( B ).
No nosso caso:
  • -1 se relaciona a f
  • 0 se relaciona a b
  • 1 se relaciona a c
  • 2 se relaciona a a
Cada elemento de A está relacionado a um único elemento de B . Portanto, sim, essa relação é uma função.

Passo 4

Agora que sabemos que é uma função, vamos verificar se ela é injetiva. Uma função é injetiva se elementos distintos de A se relacionam a elementos distintos de B .
Observando a nossa função:
  • -1 f
  • 0 b
  • 1 c
  • 2 a
Todos os elementos de A estão mapeados para elementos diferentes em B . Nenhum elemento de B está sendo usado mais de uma vez. Logo, a função é injetiva.

Passo 5

Em seguida, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todos os elementos de B são atingidos pelo mapeamento, ou seja, se cada elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A .
No nosso caso, a função mapeia para f, b, c, a . Os elementos d, e e f de B não estão sendo atingidos pela função. Portanto, a função não é sobrejetiva.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar se a função é bijetiva. Uma função é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
Já vimos que a função é injetiva, mas não é sobrejetiva. Portanto, a função não é bijetiva.

Resposta

A relação definida é uma função injetiva. O conjunto imagem dessa função é f, b, c, a .

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