Exercício 1. Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
e
. A relação dada é
,
,
, e
. Nosso objetivo é:
- Fazer um diagrama de Venn para essa relação.
- Verificar se essa relação é uma função.
- Se for função, dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
- Determinar o conjunto imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um diagrama de Venn. Um diagrama de Venn é uma representação gráfica que mostra todos os possíveis relacionamentos lógicos entre conjuntos. No nosso caso, queremos representar a relação entre
e
.
Para cada elemento de
, vamos ligá-lo ao elemento correspondente em
conforme a relação dada:
-
está relacionado a -
está relacionado a -
está relacionado a -
está relacionado a
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa relação é uma função. Uma relação é considerada uma função se cada elemento do conjunto de partida (
) está relacionado a apenas um elemento do conjunto de chegada (
).
No nosso caso:
-
se relaciona a -
se relaciona a -
se relaciona a -
se relaciona a
Cada elemento de
está relacionado a um único elemento de
. Portanto, sim, essa relação é uma função.
Passo 4
Agora que sabemos que é uma função, vamos verificar se ela é injetiva. Uma função é injetiva se elementos distintos de
se relacionam a elementos distintos de
.
Observando a nossa função:
-
→ -
→ -
→ -
→
Todos os elementos de
estão mapeados para elementos diferentes em
. Nenhum elemento de
está sendo usado mais de uma vez. Logo, a função é injetiva.
Passo 5
Em seguida, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todos os elementos de
são atingidos pelo mapeamento, ou seja, se cada elemento de
é a imagem de pelo menos um elemento de
.
No nosso caso, a função mapeia para
. Os elementos
e
de
não estão sendo atingidos pela função. Portanto, a função não é sobrejetiva.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar se a função é bijetiva. Uma função é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
Já vimos que a função é injetiva, mas não é sobrejetiva. Portanto, a função não é bijetiva.
Resposta
A relação definida é uma função injetiva. O conjunto imagem dessa função é
.