Em cada caso, mude de coordenadas cartesianas para coordenadas. esféricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z d y d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2integral-raiz1-x^2-y^2^raiz1-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2),dz,dy,dx
sobre a região definida por x^2+y^2+z^2<=1, ou seja, a bola unitária em R^3. Vamos usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria radial e o jacobiano rho^2sinvarphi.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
com 0<=rho<=1, 0<=varphi<=pi e 0<=theta<=2pi. O elemento de volume é
dV =rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 3

Na nova variável, o integrando x^2+y^2+z^2 torna-se rho^2. Logo a integral fica
integraltheta=0^2pi!integralvarphi=0^pi!integralrho=0^1 rho^2,l(rho^2sinvarphir),drho,dvarphi,dtheta =integral0^2pi!dtheta;integral0^pisinvarphi,dvarphi;integral0^1rho^4,drho

Passo 4

Calculamos separadamente cada integral:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pisinvarphi,dvarphi=2, integral0^1rho^4,drho=15

Passo 5

Multiplicando os resultados, obtemos
2pitimes2times15=4pi5

Resposta

4pi5

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