Em cada caso, mude de coordenadas cartesianas para coordenadas. esféricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral0^raiz2 integral0^raiz2-x^2 integral-raiz2-x^2-y^2^0 e^-(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d y d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integral0^raiz2 integral0^raiz2-x^2 integral-raiz2-x^2-y^2^0 e^-(x^2+y^2+z^2)^3/2 ,dz,dy,dx
mudando para coordenadas esféricas. Vamos usar a mudança de variáveis
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano rho^2sinphi.

Passo 2

Identificamos a região
(x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z<=0,;x^2+y^2+z^2<=2
como um octante da esfera de raio raiz2. Logo os limites em esféricas são
0<=rho<=raiz2, 0<=theta<=tfracpi2, tfracpi2<=phi<=pi

Passo 3

Na integral original substituímos x^2+y^2+z^2=rho^2 e acrescentamos o jacobiano. Assim obtemos
integral0^pi/2!integralpi/2^pi!integral0^raiz2 e^-(rho^2)^3/2;rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta =integral0^pi/2!integralpi/2^pi!integral0^raiz2 e^-rho^3;rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 4

As integrais angulares separam-se:
integral0^pi/2dtheta=tfracpi2, integralpi/2^pisinphi,dphi =l[-cosphir]pi/2^pi =1
Logo a integral fica
pi2,integral0^raiz2e^-rho^3rho^2,drho

Passo 5

Para a parte radial fazemos u=rho^3, du=3rho^2,drho, obtendo
integral0^raiz2e^-rho^3rho^2,drho =13integral0^2raiz2e^-u,du =13l[1-e^-2raiz2r]
Multiplicando por tfracpi2 vem
pi2cdot13l[1-e^-2raiz2r] =pi6l(1-e^-2raiz2r)

Resposta

pi6l(1-e^-2raiz2r)

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