Em cada caso, mude de coordenadas cartesianas para coordenadas. esféricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral-1^0 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz1-x^2-y^2(x^2 z+y^2 z+z^3) d z d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral-1^0integral0^raiz1-y^2integral0^raiz1-x^2-y^2l(x^2z+y^2z+z^3r),dz,dx,dy
usando coordenadas esféricas. Vamos aplicar a mudança
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano
J=rho^2sinphi

Passo 2

Identificamos a região em esféricas. Como estamos dentro da esfera unitária,
rhoin[0,1]. A condição z>=0 implica phiin[0,pi/2].
Para x>=0 e y<=0 obtemos thetain[3pi/2,2pi].

Passo 3

Transformamos o integrando. Note que
x^2+y^2=rho^2sin^2phi, z=rhocosphi,
então
x^2z+y^2z+z^3 =rho^3cosphi,sin^2phi+rho^3cos^3phi =rho^3cosphil(sin^2phi+cos^2phir) =rho^3cosphi
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando em esféricas fica
rho^3cosphi;times;rho^2sinphi =rho^5sinphicosphi

Passo 4

Escrevemos a integral em forma separável:
integraltheta=3pi/2^2pi!!integralphi=0^pi/2!!integralrho=0^1 rho^5sinphicosphi ,drho,dphi,dtheta = l(integral0^1rho^5drhor) l(integral0^pi/2sinphicosphi,dphir) l(integral3pi/2^2pidthetar)
Calculando cada fator:
integral0^1rho^5drho=16, integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=12, integral3pi/2^2pidtheta=pi2
Logo o valor da integral é
16times12timespi2 =pi24

Resposta

pi24

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