Em cada caso resolva a equação ou inequação (sempre x, y \in \mathbb{R} ):
|x-2|+|5-x|=3.

Passo 1

Temos a equação de soma de valores absolutos
|x-2| + |5-x| = 3,
que representa a soma das distâncias de x aos pontos 2 e 5 no eixo real. Para resolver, vamos usar o método de análise por intervalos, dividindo em regiões definidas pelos pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, ou seja, x=2 e x=5.

Passo 2

Determinar os intervalos críticos:
(-\infty,2],\quad [2,5],\quad [5,\infty).
Em cada região, substituímos |x-2| e |5-x| por expressões sem valor absoluto e resolvemos a igualdade.

Passo 3

Para x\le2, temos x-2\le0 e 5-x\ge0, logo
|x-2| = 2 - x,\qquad |5-x| = 5 - x.
A equação fica
(2 - x) + (5 - x) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 7 - 2x = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Como x=2 pertence a (-\infty,2], ele é solução nesse caso.

Passo 4

Para 2 \le x \le 5, temos x-2\ge0 e 5-x\ge0, então
|x-2| = x - 2,\qquad |5-x| = 5 - x.
A soma é
(x - 2) + (5 - x) = 3,
que é verdadeira para todo x em [2,5]. Assim, qualquer x\in[2,5] satisfaz a equação.

Passo 5

Para x\ge5, temos x-2\ge0 e 5-x\le0, então
|x-2| = x - 2,\qquad |5-x| = x - 5.
A equação torna-se
(x - 2) + (x - 5) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 7 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 10 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.
Como x=5 pertence a [5,\infty), ele também é solução.

Passo 6

Reunindo todas as soluções obtidas nos três casos, temos
x = 2,\quad x\in[2,5],\quad x = 5,
ou seja, o conjunto solução é o intervalo [2,5].

Resposta

[2,5]

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