Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre Z times Z.
(a, b) De<a(c, d)=(a+c, b+d)
Verifique se ela é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define em ZtimesZ a operação
(a,b),De<a,(c,d) = (a+c,;b+d)
e pede para verificar três propriedades clássicas de operações binárias: associatividade, comutatividade e existência de elemento neutro. Vamos mostrar cada uma por cálculo direto.

Passo 2

Para associatividade, tomemos três pares quaisquer (a,b),(c,d),(e,f). Primeiro calculamos
((a,b)De<a(c,d))De<a(e,f) = (,a+c,;b+d),De<a,(e,f) = l((a+c)+e,;(b+d)+fr)
Por outro lado,
(a,b)De<al((c,d)De<a(e,f)r) = (a,b)De<a(c+e,;d+f) = l(a+(c+e),;b+(d+f)r)
Como a soma em Z é associativa, (a+c)+e = a+(c+e) e (b+d)+f = b+(d+f). Logo
((a,b)De<a(c,d))De<a(e,f) = (a,b)De<al((c,d)De<a(e,f)r),
isto é, De<a é associativa.

Passo 3

Para comutatividade, tomemos dois pares (a,b) e (c,d). Usando a comutatividade da soma em Z,
(a,b)De<a(c,d) = (a+c,;b+d) = (c+a,;d+b) = (c,d)De<a(a,b)
Portanto, De<a é comutativa.

Passo 4

Buscamos um par (e1,e2) que seja neutro, ou seja, satisfaça para todo (a,b):
(a,b)De<a(e1,e2) = (a,b) e (e1,e2)De<a(a,b) = (a,b)
Da definição temos (a+e1,;b+e2)=(a,b), o que leva a e1=0 e e2=0. Como a operação é comutativa, basta verificar que
(a,b)De<a(0,0) = (a+0,;b+0) = (a,b)
Logo o elemento neutro é (0,0).

Resposta

A operação De<a em ZtimesZ é associativa, comutativa e possui elemento neutro dado por (0,0).

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