Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre
.
Verifique se ela é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
e pede para verificar três propriedades clássicas de operações binárias: associatividade, comutatividade e existência de elemento neutro. Vamos mostrar cada uma por cálculo direto.
Passo 2
Para associatividade, tomemos três pares quaisquer
. Primeiro calculamos
Por outro lado,
Como a soma em
é associativa,
e
. Logo
isto é,
é associativa.
Passo 3
Para comutatividade, tomemos dois pares
e
. Usando a comutatividade da soma em
,
Portanto,
é comutativa.
Passo 4
Buscamos um par
que seja neutro, ou seja, satisfaça para todo
:
Da definição temos
, o que leva a
e
. Como a operação é comutativa, basta verificar que
Logo o elemento neutro é
.
Resposta
A operação
em
é associativa, comutativa e possui elemento neutro dado por
.