Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre
.
Verifique se ela é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
Passo 1
O enunciado define uma operação
em
por
Vamos verificar se
é comutativa, associativa e se existe elemento neutro.
Passo 2
Para a comutatividade, calculemos
e também
Como
e
, os dois pares coincidem. Logo,
isto é,
é comutativa.
Passo 3
Para a associatividade, comparemos
com
Primeiro,
com
Então
Por outro lado,
com
e
Como as expressões nos dois casos são idênticas, concluímos que
portanto
é associativa.
Passo 4
Procuramos
tal que
para todo
.
Isso produz o sistema
para todos
. Escolhendo
e
temos
ou seja,
funciona como elemento neutro à esquerda. Pela comutatividade, ele também é neutro à direita.
Resposta
A operação
é comutativa e associativa, e seu elemento neutro é
.