Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre Z times Z.
(a, b) star(c, d)=(a c-b d, a d+b c)
Verifique se ela é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define uma operação star em ZtimesZ por
(a,b)star(c,d)=(a,c - b,d,;a,d + b,c)
Vamos verificar se star é comutativa, associativa e se existe elemento neutro.

Passo 2

Para a comutatividade, calculemos
(a,b)star(c,d)=(a,c - b,d,;a,d + b,c)
e também
(c,d)star(a,b)=(c,a - d,b,;c,b + d,a)
Como a,c=c,a e a,d+b,c=c,b+d,a, os dois pares coincidem. Logo,
(a,b)star(c,d)=(c,d)star(a,b),
isto é, star é comutativa.

Passo 3

Para a associatividade, comparemos
l((a,b)star(c,d)r)star(e,f)
com
(a,b)starl((c,d)star(e,f)r)
Primeiro, (a,b)star(c,d)=(m,n) com
m=a,c - b,d, n=a,d + b,c
Então
(m,n)star(e,f)=(m,e - n,f,;m,f + n,e)
=(a,c,e - b,d,e - a,d,f - b,c,f,;a,c,f - b,d,f + a,d,e + b,c,e)
Por outro lado, (c,d)star(e,f)=(p,q) com
p=c,e - d,f, q=c,f + d,e,
e
(a,b)star(p,q)=(a,p - b,q,;a,q + b,p)
=(a,c,e - a,d,f - b,c,f - b,d,e,;a,c,f + a,d,e + b,c,e - b,d,f)
Como as expressões nos dois casos são idênticas, concluímos que
l((a,b)star(c,d)r)star(e,f) =(a,b)starl((c,d)star(e,f)r),
portanto star é associativa.

Passo 4

Procuramos (e,g) tal que (a,b)star(e,g)=(a,b) para todo (a,b).
(a,b)star(e,g)=(a,e - b,g,;a,g + b,e)stackrel!=(a,b)
Isso produz o sistema
a,e - b,g = a, a,g + b,e = b
para todos a,b. Escolhendo e=1 e g=0 temos
acdot1 - bcdot0 = a, acdot0 + bcdot1 = b,
ou seja, (1,0) funciona como elemento neutro à esquerda. Pela comutatividade, ele também é neutro à direita.

Resposta

A operação star é comutativa e associativa, e seu elemento neutro é (1,0).

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