Em cada caso a seguir determine se H é um subgrupo de G.
H=pi^n mid n in Z e G=(R,+).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
H = pi^n mid n in Z
é subgrupo de G=(R,+).
Conteúdo: teoria de subgrupos em grupos abelianos. Vamos usar o teste de subgrupo que exige (i) identidade em H, (ii) fechamento em relação à operação de G, e (iii) fecho em inversos.

Passo 2

Verificamos a identidade de G, que é 0. Para ter 0in H precisaríamos
pi^n = 0
para algum ninZ. Mas pi^n>0 para todo n, logo não existe n tal que pi^n=0. Assim
0notin H,
falhando já o primeiro requisito.

Passo 3

Mesmo sem precisar, podemos notar também que H não é fechado sob adição: por exemplo
pi^1 + pi^0 = pi + 1
não é igual a pi^k para qualquer kinZ. Logo
pi + 1notin H,
faltando fechamento.

Passo 4

Como H não contém a identidade de G e não é fechado sob a operação de soma, concluímos que H não satisfaz as condições de subgrupo.

Resposta

H não é subgrupo de G.

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