Em cada caso a seguir determine se H é um subgrupo de G.
H=A in G L2(R) mid A^-1=A^T, onde A^T denota a transposta de A, e G=G L2(R).

Passo 1

O enunciado define o grupo G = GL2(R) (as matrizes 2times2 invertíveis) e o subconjunto
H = Ain GL2(R) mid A^-1 = A^T
Queremos verificar se H é um subgrupo de G. Para isso, vamos usar os critérios clássicos de subgrupo:
  1. elemento identidade de G está em H,
  2. fechamento de H sob produto,
  3. fechamento de H sob inverso.

Passo 2

Verificar identidade. No caso, a matriz identidade
I2 = 1&00&1
satisfaz
I2^-1 = I2 e I2^T = I2,
logo I2^-1 = I2^T e portanto I2in H.

Passo 3

Fechamento sob produto. Sejam A,Bin H. Então
A^-1 = A^T, B^-1 = B^T
Queremos mostrar (AB)^-1 = (AB)^T. De fato,
(AB)^-1 = B^-1A^-1 = B^TA^T = (AB)^T,
pois (AB)^T = B^TA^T. Assim ABin H.

Passo 4

Fechamento sob inverso. Seja Ain H. Queremos checar que A^-1in H, ou seja
(A^-1)^-1 stackrel?= (A^-1)^T
Mas (A^-1)^-1=A e, como Ain H, temos A^T=A^-1. Tomando transposta em ambos os lados de A^T=A^-1
(A^T)^T=(A^-1)^T Longrightarrow A=(A^-1)^T,
logo (A^-1)^-1 = (A^-1)^T e A^-1in H.

Resposta

H é subgrupo de G.

Exercícios relacionados