Em cada caso a seguir determine se H é um subgrupo de G.
H=A in G L2(R) mid det A=1 ou det a=-1 e G=G L2(R).

Passo 1

O enunciado diz que G = GL2(R) é o grupo das matrizes invertíveis 2times2 sobre R (com operação de multiplicação) e que
H = lA in GL2(R) mid det A = 1 ou det A = -1r
Queremos saber se H é subgrupo de G. Para isso, vamos usar o teste de subgrupo: mostrar que H não é vazio, que é fechado sob a multiplicação e que contém inversos dos seus elementos.

Passo 2

Verificamos que H não é vazio, exibindo o elemento neutro de G. A identidade I satisfaz
det I = 1,
logo Iin H.

Passo 3

Mostramos que H é fechado sob a multiplicação: se A,Bin H então det A = pm1 e det B = pm1. Da propriedade de determinante,
det(AB) = det A;det B = (pm1),(pm1) = pm1,
logo ABin H.

Passo 4

Por fim, verificamos que H contém o inverso de cada um de seus elementos. Se Ain H então det A = pm1. Como det(A^-1) = 1/det A, temos
det(A^-1) = 1pm1 = pm1,
portanto A^-1in H.

Resposta

H é subgrupo de GL2(R).

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