Sejam G um grupo e g in G. Mostre que:
Se o(g) é infinita, então g^n=g^m apenas quando n=m.

Passo 1

O enunciado considera um grupo G e um elemento gin G cujo “ordem” ,o(g) é infinita, ou seja, não existe inteiro positivo k tal que g^k=e (além de k=0). Precisamos mostrar que, nesse caso, as potências de g são todas distintas:
g^n = g^m Longrightarrow n=m
Vamos usar a lei de cancelamento em grupos e a definição de ordem de um elemento.

Passo 2

Suponha que
g^n = g^m
Multiplicando dos dois lados à direita por g^-m, pela cancelação, obtemos
g^n ,g^-m ;=; g^m,g^-m Longrightarrow g^,n-m = e
Defina k = n - m. Então ,g^k = e. Como o(g) é infinita, a única solução para g^k=e é k=0. Logo
n - m = 0 Longrightarrow n = m

Resposta

n = m

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