Sejam
um grupo e
. Mostre que:
Se
é infinita, então
apenas quando
.
Se
Passo 1
O enunciado considera um grupo
e um elemento
cujo “ordem”
é infinita, ou seja, não existe inteiro positivo
tal que
(além de
). Precisamos mostrar que, nesse caso, as potências de
são todas distintas:
Vamos usar a lei de cancelamento em grupos e a definição de ordem de um elemento.
Passo 2
Suponha que
Multiplicando dos dois lados à direita por
, pela cancelação, obtemos
Defina
. Então
. Como
é infinita, a única solução para
é
. Logo