Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}) e (x * y=\frac{x+y}{2})
(E=\mathbb{R}) e (x * y=\frac{x+y}{2})
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
O objetivo é verificar se essa operação é comutativa, associativa e se existe algum elemento neutro
tal que
para todo
.
Passo 2
Para a comutatividade, comparamos
e
:
Como a soma em
é comutativa,
, segue que
Logo, a operação é comutativa.
Passo 3
Para a associatividade, comparamos
e
.
Calculemos primeiro
Calculemos primeiro
e depois
Como, em geral,
, temos
ou seja, a operação não é associativa.
Passo 4
Para existir elemento neutro
, deveríamos ter para todo
:
o que não pode valer para todo
simultaneamente. De modo semelhante em
. Assim, não existe elemento neutro nessa operação.
Resposta
A operação é comutativa, não é associativa e não possui elemento neutro.