Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}) e (x * y=\frac{x+y}{2})

Passo 1

O enunciado define em E=R a operação binária
x * y = x + y2
O objetivo é verificar se essa operação é comutativa, associativa e se existe algum elemento neutro einR tal que e * x = x * e = x para todo x.

Passo 2

Para a comutatividade, comparamos x * y e y * x:
x * y = x + y2, y * x = y + x2
Como a soma em R é comutativa, x+y=y+x, segue que
x * y = x + y2 = y + x2 = y * x
Logo, a operação é comutativa.

Passo 3

Para a associatividade, comparamos (x * y) * z e x * (y * z).
Calculemos primeiro
(x * y) * z = x + y2 + z2 = x + y + 2z4,
e depois
x * (y * z) = x + y + z22 = 2x + y + z4
Como, em geral, x + y + 2z neq 2x + y + z, temos
(x * y) * z neq x * (y * z),
ou seja, a operação não é associativa.

Passo 4

Para existir elemento neutro e, deveríamos ter para todo x:
e * x = e + x2 = x Longrightarrow e + x = 2x Longrightarrow e = x,
o que não pode valer para todo x simultaneamente. De modo semelhante em x * e. Assim, não existe elemento neutro nessa operação.

Resposta

A operação é comutativa, não é associativa e não possui elemento neutro.

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