Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo I onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
x^2 y^prime+x(x+2) y=e^x

Passo 1

O enunciado pede para achar a família de soluções explícitas da EDO x^2y'+x(x+2)y=e^x e indicar em que intervalo I (onde xneq0) elas são válidas. Esse é um problema de EDO linear de primeira ordem, em que vamos usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por x^2 (em intervalos onde xneq0) obtemos:
y'+x+2xy=e^xx^2
Aqui P(x)=1+2/x e Q(x)=e^x/x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral(1+2/x),dxr)=expl(x+2ln|x|r)=x^2e^x

Passo 4

Multiplicamos a equação original (já na forma padrão) por mu(x). Isso dá
x^2e^x y'+(x+2)x e^x y= e^2x,
que se reconhece como
ddxl(x^2e^x yr)=e^2x
Integrando em ambos os lados:
x^2e^x y=integral e^2xdx=12e^2x+C

Passo 5

Finalmente isolamos y:
$$y=\frac{\tfrac12e{2x}+C}{x2ex}=\frac12\frac{ex}{x2}+C\frac{e{-x}}{x^2}.
$$
Como dividimos por y=tfrac12e^2x+Cx^2e^x=12e^xx^2+Ce^-xx^2 , a solução vale em intervalos onde x^2 ou onde x>0, ou seja, x<0 ou I=(0,infty).

Resposta

y(x)=12e^xx^2+Ce^-xx^2, I=(0,infty) ou I=(-infty,0).

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