Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo
onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
Passo 1
O enunciado pede para achar a família de soluções explícitas da EDO
e indicar em que intervalo
(onde
) elas são válidas. Esse é um problema de EDO linear de primeira ordem, em que vamos usar fator integrante.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação em forma padrão
. Dividindo tudo por
(em intervalos onde
) obtemos:
Aqui
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação original (já na forma padrão) por
. Isso dá
que se reconhece como
Integrando em ambos os lados:
Passo 5
Finalmente isolamos
:
$$y=\frac{\tfrac12e{2x}+C}{x2ex}=\frac12\frac{ex}{x2}+C\frac{e{-x}}{x^2}.
$$
Como dividimos por , a solução vale em intervalos onde
ou onde
, ou seja,
ou
.
Como dividimos por