Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo I onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
cos (x) d yd x+y sen(x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
cos(x),dydx+y,sen(x)=1
que é uma equação de primeiro ordem linear. Para isso vamos colocá-la na forma padrão
dydx+p(x),y=q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por cos(x) (assumindo cos(x)neq0), obtemos
dydx+tan(x),y=sec(x)
Aqui p(x)=tan(x) e q(x)=sec(x).

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral tan(x),dxr) =expl(-lnlvertcos(x)rvertr) =1lvertcos(x)rvert
Escolhendo um intervalo onde cos(x)>0 (por exemplo I=( -tfracpi2,tfracpi2)), temos mu(x)=sec(x).

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por mu(x)=sec(x) resulta em
sec(x),dydx+sec(x)tan(x),y =sec^2(x)
O lado esquerdo é exatamente ddxl(y,sec(x)r). Logo
ddxl(y,sec(x)r) =sec^2(x)

Passo 5

Integrando em x,
y,sec(x)=integral sec^2(x),dx =tan(x)+C,
onde C é constante de integração. Assim
y(x)=cos(x),l(tan(x)+Cr) =sin(x)+Ccos(x)

Passo 6

A solução geral é
boxedy(x)=sin(x)+Ccos(x),
válida em qualquer intervalo onde cos(x)neq0, por exemplo
I=l(-tfracpi2,tfracpi2r) ou mais >=ralmente I=l(-tfracpi2+kpi,tfracpi2+kpir),;kinZ

Resposta

y(x)=sin(x)+Ccos(x), válido em Isubsetx:cos(x)neq0, por exemplo I=(-tfracpi2,tfracpi2).

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