Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo I onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
x d yd x=(x sen(x)-y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
xdydx=xsen(x)-y
que é uma EDO de primeira ordem linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para equações do tipo
dydx+P(x),y=Q(x)

Passo 2

Colocando em forma padrão, dividindo por x (supondo xneq 0), temos
dydx+1x,y=sen(x)
Aqui P(x)=tfrac1x e Q(x)=sen(x). O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral tfrac1x,dxr)=exp(ln|x|)=|x|
Como podemos trabalhar em um intervalo onde x>0 ou x<0, tomamos simplesmente mu(x)=x (ou mu(x)=-x, o sinal se absorve na constante).

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x)=x, obtemos
xdydx+y = xsen(x)
O lado esquerdo é a derivada do produto x,y, ou seja
ddxl(x,yr)=xsen(x)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x,yr),dx = integral xsen(x),dx
Para integral xsen(x),dx usamos integração por partes com u=x, dv=sen(x),dx:
integral xsen(x),dx = -xcos(x)+integral cos(x),dx = -xcos(x)+sin(x)+C
Logo
x,y = -xcos(x)+sin(x)+C

Passo 5

Isolando y, vem
y(x) = -cos(x) + sin(x)x + Cx
As soluções são válidas em qualquer intervalo I onde xneq 0, por exemplo I=(0,infty) ou I=(-infty,0).

Resposta

y(x) = -cos(x) + sin(x)x + Cx, xin I,;IsubsetRsetminus0

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