Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo
onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma EDO de primeira ordem linear não homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para equações do tipo
Passo 2
Colocando em forma padrão, dividindo por
(supondo
), temos
Aqui
e
. O fator integrante é
Como podemos trabalhar em um intervalo onde
ou
, tomamos simplesmente
(ou
, o sinal se absorve na constante).
Passo 3
Multiplicando toda a equação por
, obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para
usamos integração por partes com
,
:
Logo
Passo 5
Isolando
, vem
As soluções são válidas em qualquer intervalo
onde
, por exemplo
ou
.