Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}) e (x * y=x)

Passo 1

O enunciado define em ,E=R, a operação binária
x * y = x
Precisamos verificar três propriedades: associatividade, comutatividade e existência de elemento neutro (identidade).

Passo 2

Para verificar associatividade, comparamos (x*y)*z com x*(y*z):
(x*y)*z = x * z = x,
x*(y*z) = x * y = x
Como ambos dão x, concluímos que
(x*y)*z = x*(y*z),
logo a operação é associativa.

Passo 3

Para testar comutatividade, comparamos x*y e y*x:
x * y = x,
y * x = y
Em geral xneq y, então x*yneq y*x. Portanto, a operação não é comutativa.

Passo 4

Um elemento neutro e deve satisfazer para todo xinR:
x * e = x e e * x = x
Mas
x * e = x(va<= para qualquer e),
e * x = e
Para ter e * x = x para todo x seria necessário e=x para todo x, o que é impossível. Logo não existe elemento neutro em R para essa operação.

Resposta

A operação é associativa, não é comutativa e não possui elemento neutro.

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