Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}) e (x * y=x)
(E=\mathbb{R}) e (x * y=x)
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
Precisamos verificar três propriedades: associatividade, comutatividade e existência de elemento neutro (identidade).
Passo 2
Para verificar associatividade, comparamos
com
:
Como ambos dão
, concluímos que
logo a operação é associativa.
Passo 3
Para testar comutatividade, comparamos
e
:
Em geral
, então
. Portanto, a operação não é comutativa.
Passo 4
Um elemento neutro
deve satisfazer para todo
:
Mas
Para ter
para todo
seria necessário
para todo
, o que é impossível. Logo não existe elemento neutro em
para essa operação.
Resposta
A operação é associativa, não é comutativa e não possui elemento neutro.